Lösung mit dem Euler Verfahren berechnen?

Question

Aufgabe:

Anfangswertproblem \( y^{\prime} \) (t) = t -2y(t) mit y(0)=1

Die Lösung soll für t=1/2 numerisch angenähert werden mithilfe des expl. euler-verfahrens. Die Schrittweite soll dazu noch mit h ∈ {1/2,1/4,1/8} varriert werden.

Es soll mit der speziellen Lösung yspez(t) und den numerischen Lösungen für die versch. Schrittweiten den relativen Fehler an der Stelle t=1/2 berechnet werden.

Problem/Ansatz:

Kann hier jemand helfen?

yspez(t)= 5/4\( e^{-2t} \) + 1/2 t - 1/4

Answer 1

Hallo,

Beim Eulerverfahren wird jedes neue \(y_{k+1}\) aus dem Vorgänger \(y_{k}\), der Steigung \(y'_{k}\) und dem \(\Delta t\) berechnet:$$t_{k} = t_0 + k \cdot \Delta t\\ y_{k+1} = y_{k} + y'_{k}(t_{k},y_{k})\cdot \Delta t$$Die Anweisung für \(y'_{k}\) ist durch die DGL gegeben. Die Anfangsbedingung \(y_0=y(0)=1\) muss für die nummerische Berechnung immer gegeben sein.

Man stellt zweckmäßiger Weise eine Tabelle auf; hier für \(\Delta t=1/8\):$$\begin{array}{r|rrr}k& t& y_k& y'_k\\\hline 0& 0.000& 1.000& -2.000\\ 1& 0.125& 0.750& -1.375\\ 2& 0.250& 0.578& -0.906\\ 3& 0.375& 0.465& -0.555\\ 4& 0.500& 0.396& -0.291\end{array}$$Im Bild sieht das so aus (grün für \(\Delta t = 1/4\) und schwarz für \(\Delta t = 1/8\)):

https://www.desmos.com/calculator/tfxygpgtuh

Der relative Fehler \(\epsilon\) ist$$\epsilon = \left|\frac{y_e - y_{\text{spez}}}{y_{\text{spez}}}\right|$$wobei \(y_e\) das Ergebnis aus der nummerischen Berechnung sein soll. Also im Fall von \(\Delta t = 1/8\) (s. Tabelle oben)$$y_{\text{spez}}(1/2)\approx 0,460 \quad  \epsilon \approx \left|\frac{0,460 - 0,396}{0,396}\right| \approx 14\%$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Muss man nun noch den Fehler für die anderen Fälle berechnen?

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ich denke schon. Zitat:

Es soll mit der speziellen Lösung yspez(t) und den numerischen Lösungen für die versch. Schrittweiten den relativen Fehler an der Stelle t=1/2 berechnet werden.

Stelle die Tabelle für \(\Delta t=1/2\) und \(\Delta t = 1/4\) auf, dann hast Du das \(y_e\) und setze es bei \(\epsilon\) ein.

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Könnten sie am Beispiel von Delta 1/8 genauer zeigen wie sie auf die Werte für die Tabelle herauskommen? Ich komm auf nichts gutartiges

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In der ersten Zeile (\(k=0\)) ist nur \(y'_0\) aus der DGL zu berechnen. Der Rest ist durch die Anfangsbedingung gegeben:$$t_0 = 0\\ y_0 = 1 \\ y'_0 = t_0 - 2y_0 = 0 - 2\cdot 1 = -2$$Dann kommt die zweite Zeile (\(k=1\)) $$t_1 = t_0 + k \cdot \Delta t = 0 + 1 \cdot \frac{1}{8} = 0,125 \\y_1 = y_0 + \Delta t \cdot y'_0 = 1 + \frac{1}{8} \cdot (-2) = \frac{3}{4} = 0,75 \\ y'_1 = t_1 - 2\cdot y_1 = \frac{1}{8} - 2\cdot \frac{3}{4} = -\frac{11}{8} = -1,375$$und die dritte Zeile (\(k=2\)):$$t_2 = t_0 + k \cdot \Delta t = 0 + 2\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4} = 0,25 \\ y_2 = y_1 + \Delta t \cdot y_1' = \frac{3}{4} + \frac{1}{8} \cdot \left(-\frac{11}{8}\right) = \frac{37}{64} \approx 0,578 \\ y'_2 = t_2 - 2\cdot y_2 = \frac{1}{4} - 2\cdot \frac{37}{64} = -\frac{29}{32} \approx -0,906$$usw.:$$t_3 = \frac{3}{8} \\ y_3 = y_2 + \Delta t \cdot y'_2 = \frac{37}{64} + \frac{1}{8} \cdot \left(-\frac{29}{32}\right) = \frac{119}{256} \\ \dots $$