Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen für eine Funktion f. (Stetige Funktionen)

Question

Aufgabe:

i) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen für eine Funktion f : [-1,1] -> R.

a) f stetig in 0 => |f| stetig in 0.

b) |f| stetig in 0 => f stetig in 0.

ii) Sei f : R->R. Zeigen Sie, dass man aus |f(x)-f(y)| <= (kleiner gleich) 17*|x-y|^(1/2) für alle x,y € (Element von) R folgt, dass f stetig ist.

Ich kann nachvollziehen, ob die Aussagen stimmen oder nicht, aber wie beweist/zeigt man es denn?

Comments

Was bedeutet |f|?

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Was bedeutet |f|?

Was spricht deiner Meinung nach gegen Betragsstriche?

Answer 1

a) f stetig in 0 => |f| stetig in 0.

Sei \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\) stetig in \(0\).

Fall 1. f(0) > 0. Begründe, dass \(\lim\limits_{x\to 0} |f|(x) = |f|(0)\) ist.

Fall 2. f(0) = 0. Begründe, dass \(\lim\limits_{x\nearrow 0} |f|(x) = \lim\limits_{x\searrow 0} |f|(x) = |f|(0)\) ist.

Fall 3. ...

b) |f| stetig in 0 => f stetig in 0.

Finde ein \(f:[-1,1]\to \mathbb{R}\), so dass \(|f|\) stetig in \(0\) ist aber \(f\) nicht stetig in \(0\) ist.

Comments

Ok danke Und bei (ii)?

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Finde zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein passendes \(\delta>0\).

Answer 2

Für das Widerlegen genügt ein Gegenbeispiel.