wie kann man beweisen dass P(A ∩ B) = P(A)P(B)-P(A')(B')

Question

Seien A, B Ereignisse mit A ∪ B = Ω. wie kann man beweisen dass: P(A ∩ B) = P(A)P(B)-P(A')(B')

Comments

Kann es sein, dass du vergessen hast, sowas wie \(A \cup B = \Omega\) oder \(P(A \cup B)=1\) dazuzuschreiben?

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genau A ∪ B = Ω

Answer 1

Es gilt:
$$1 = P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$ Umstellen ergibt

$$ P(A\cap B) =P(A)P(B) - (P(A)P(B) - P(A) - P(B) + 1)$$$$  = P(A)P(B) - (1-P(A)(1-P(B))$$

Daraus folgt die Behauptung.

Comments

dankeschön für deine hilfe