Welche weiteren Eigenschaften hat f^{-1}?

Question

Aufgabe
Gegeben sei die Funktionsvorschrift
\( f(x):=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1} . \)
(i) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich \( D \subset \mathbb{R} \) von \( f \) an.
(ii) Sei \( J=f(D) \). Dann gilt (ohne Beweis) \( f(D)=[-4,1) \). Weisen Sie nach, dass \( f: D \rightarrow J \) eine Umkehrfunktion besitzt und geben Sie die Funktionsvorschrift von \( f^{-1} \) an. Welche weiteren Eigenschaften hat \( f^{-1} \) ?

Comments

Hallo
bist du sicher, dass  da steht f(D)=[−4,1)? denn f(x) ist niemals 1

und was hast du versucht um f^-1 zu finden?

lul

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Hallo lul,

ist dir nicht der Unterschied zwischen runder Klammer und eckiger Klammer aufgefallen?

Für halboffene Intervalle gibt es verschiedene Notationen.

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Hallo

doch weiss ich. aber f(x)<0 für alle x, kommt also nicht in die Nähe von 1

lul

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Aber f(16)=0

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Hallo

Danke, ich hatte den GW nicht gesehen

lul

Answer 1

größtmöglicher Def. bereich ist ja wohl D=[0;∞).

f ist streng monoton steigend und \(  \lim\limits_{x \to \infty}  f(x) = 1 \)

und f(0)=-4 also in der Tat f(D)=[-4;1).

Umkehrung: Löse für y∈[-4;1)  nach x auf:

 \( y = \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}   | \cdot (\sqrt{x}+1) \)

\( y\cdot (\sqrt{x}+1) = \sqrt{x}-4 \) 

\( y\cdot \sqrt{x}+ y = \sqrt{x}-4 \)

\( y\cdot \sqrt{x} - \sqrt{x}  =  -y -4 \)

\( (y-1) \cdot \sqrt{x}   =  -y -4 \)

Wegen y ≠1 kann man dividieren

        \( \sqrt{x}  =   \frac{-y-4}{y-1}  \) 

Jetzt noch quadrieren und du hast es.