Es sei I = ]a,b[ ein offenes Intervall. Zeigen Sie: Es gibt keine weiteren Funktionen mit f' = f.

Question

Es sei I = ]a,b[ ein offenes Intervall. Zeigen Sie:

Answer 1

a brauchst du nur nachzurechnen f ' (x) = C* e^x = f(x)

b)  g ' (x) = f(x) * - e ^-x    +  f ' (x) * e ^-x     und wenn f = f ' dann ist das insgesamt = 0.

Eine Funktion, deren Ableitung auf einem Intervall = 0 ist, ist aber dort konstant.

also gilt  g(x) = C   bzw    f(x) * e -x = c ⇔  f(x) / e^x = c  ⇔  f(x) = c* e^x   q.e.d.