Aufgabe:
(a) Zeigen Sie, dass es ein offenes Intervall \( I \) um 0 gibt und eine stetig differenzierbare Funktion \( g: I \rightarrow \mathbb{R} \), die die Gleichung
\( x g(x)^{2}+2 x^{2} \mathrm{e}^{g(x)}=\sin (g(x)) \)
für alle \( x \in I \) mit \( g(0)=0 \) erfüllt. Berechnen Sie \( g^{\prime}(0) \).
(b) Betrachten Sie das Gleichungssystem
\( \begin{array}{r} x^{2}+u y+\mathrm{e}^{v}=0, \\ 2 x+u^{2}-u v=5 . \end{array} \)
Zeigen Sie, dass es offene Umgebungen \( U \subseteq \mathbb{R}^{2} \) von \( (2,5) \) und \( V \subseteq \mathbb{R}^{2} \) von \( (-1,0) \) und eine stetig differenzierbare Funktion \( g: U \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) so gibt, dass alle Lösungen von (2) in \( U \times V \) durch \( (x, y, g(x, y)) \) mit \( (x, y) \in U \) gegeben sind. Berechnen Sie \( g^{\prime}(2,5) \).
Problem/Ansatz:
Habe Probleme mit dieser Aufgabe (Satz über implizit definierte Funktionen)
