Ich habe einen Eigenwert mit Vielfachheit 3, aber ich bekomme nur zwei linear unabhängige Eigenvektoren.
Punkt a und b habe ich bereits erledigt.
Bei Punkt c) komme ich nicht weiter: Ich bekomme für v3 = rv1 + sv2. Wie finde ich einen dritten linear unabhängige Eigenvektor?
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Aufgabe 6.4. Wir betrachten das homogene lineare System \( \dot{\vec{x}}=A \vec{x} \) von Differentialgleichungen mit
\( A=\left(\begin{array}{lll} 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right) \)
Der einzige Eigenwert von \( A \) ist \( \lambda_{1}=1 \) und dieser Eigenwert hat Vielfachheit 3 (dies dürfen Sie ohne Beweis verwenden).
(a) Zeigen Sie, dass der allgemeine Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda_{1}=1 \) von der Form \( r \vec{v}_{1}+s \vec{v}_{2} \) mit \( (r, s) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \) ist, wobei
\( \vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) . \)
Wir wissen aus der Vorlesung, dass \( \vec{y}_{1}(t)=e^{\lambda_{1} t} \vec{v}_{1} \) und \( \vec{y}_{2}(t)=e^{\lambda_{1} t} \vec{v}_{2} \) Lösungen des Systems sind.
(b) Rechnen Sie nach, dass es keinen Vektor \( \vec{v} \) gibt mit \( \left(A-\lambda_{1} I_{3}\right) \vec{v}=\vec{v}_{1} \) oder mit \( \left(A-\lambda_{1} I_{3}\right) \vec{v}=\vec{v}_{2} \).
(c) Ermitteln Sie einen Vektor \( \vec{v}_{3} \) mit \( \left(A-\lambda_{1} I_{3}\right) \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2} \) und rechnen Sie nach, dass \( \vec{y}_{3}(t)= \) \( e^{\lambda_{1} t}\left(\vec{v}_{3}+t\left(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}\right)\right) \) eine Lösung des Systems ist.
