matrix diagonalisierbar algebraische und geometrische vielfachheit

Question

folgende matrix ist gegeben:

(0  i  0

-i  0  0

0  0  1)

Eigenwerte: 1 , 1, -1

Eigenvektoren: (i,1,0) (0,0,1) , (-i,1,0)

als charakteristische funktion:

( 1 - α) (α^2 - 1)

geben sie die algebraische und geometrische vielfachheit an

ist die matrix diagonalisierbar?

wenn ja dann habe ich das als diagonalmatrix:

(1 0 0

0  1 0

0 0 -1)

 geben sie eine invertierbare matrix S an für die gilt: A = S*D*S^-1

danke

Comments

für S erhalte ich: i   0   -i

                              1   0   1

                              0  1   0

A= S*D*S^-1  I *S

A*S = S*D

A*S= ( i   0  -i+1
           1   0    -1
           0    1    0)

S*D=  ( i  0   0
             1   0   -1
             0    1    0)

was habe ich falsch gemacht, denn beide mssen ja gleich sein

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orschau:

Die Aufgabe solltest du selbst lösen können. Beachte dabei:

Geometrische Vielfachheit=Dimension deiner Eigenräume

Algebraische Vielfachheit= Vielfachheit der Nullstelle

Bei der Diagonalisierung musst du schauen, ob:

A) Dein charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt

B) Die Algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist

Die Diagonalform trägt dann die EW als Diagonalelemente.

Deine Transformationsmatrix hat als Spaltenvektoren deine berechneten Eigenvektoren, die deine Eigenräume aufspannen. Dann invertierst du diese noch und kannst sie dann von der jeweils entsprechenden Seite an deine Ausgangsseite multiplizieren.

Nachrechnen sollte die dann Gewissheit geben.

Answer 1

Hallo Samira,

> Ist die Matrix diagonalisierbar? 

Die Voraussetzungen, die d'Alembert in seinem Kommentar angibt, sind alle erfüllt   →  ja.

So wie ich das sehe, sind bei dir

1   0   0 

0   1   0     =  D  

0   0  -1

und

 i    0    -i

1    0    1          =  S

 0   1    0

beide richtig

mit 

- i/2   1/2   0

 0       0     1      =  S^-1   (hast du leider nicht angegeben)

 i/2    1/2   0   

erhalte ich 

S * D * S^-1  = A   

und

A * S = S * D  =

i    0    i 

1   0  -1

0   1   0

Du hast dich wahrscheinlich bei S^-1 verrechnet.

Grüße   Wolfgang