Algebraische und geometrische Vielfachheit bei Eigenwerten bestimmen

Question

Aufgabe:

Die darstellende Matrix A der linearen Abbildung TA ist bezüglich der Standardbasis gegeben durch

A:

1	-3	3
3	-5	3
6	-6	4

(...)

iii) Bestimmen Sie für jeden Eigenwert die algebraische und die geometrische Vielfachheit

Problem/Ansatz:

Die Eigenwerte und Eigenvektoren habe ich bereits berechnet. λ1 = -2 und λ2 = 4

Für λ1 habe ich das Gleichungssystem:

3	-3	3
0	0	0
0	0	0

Und dazu folgenden Eigenvektor: (1,2,1) Nun ist es ja so, das es viele Möglichkeiten gibt. Z.b. (1,1,0) oder (0,1,1). Was ist nun der richtige Vektor bzw wieviele muss ich angeben?

Für λ2 habe ich den folgenden Vektor: (1,1,2)

Meine Frage ist wie ich die algebraische und geometrische Vielfachheit bestimmen kann. Ich vermute, dass es mit den Eigenvektoren zusammenhängt und habe es deswegen weiter ausgeführt. Könnte mir das jemand kurz erklären.

Vielen Dank

Answer 1

(1,1,0) und (0,1,1) bilden eine Basis zum Eigenraum von -2

Und -2 ist auch doppelte Nullstelle der Gleichung für die Eigenwerte,

also algebraische und geometrische Vielfachheit ist hier 2.

Bei 4 sind beide 1.