Eine Matrix ist diagonalisierbar, gdw. dim(V) = dim(Eigenraum1) +dim(Eigenraum2) + ... + dim(Eigenraumk) gilt.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und φ∈End(V).

Seien a₁,…,a_k∈K die paarweise verschiedenen Eigenwerte von φ. Für die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume l_i:=dim_KEφ(a_i) gelte dim_KV = l₁ + l₂ +... l_k. Zeigen Sie, dass φdiagonalisierbar ist.

Laut der Fragestellung sollen wir zeigen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, gdw. dim(V) = dim(Eigenraum₁) +dim(Eigenraum₂) + ... + dim(Eigenraum_k) gilt.

Ich weiß, dass die rechte Seite der Gleichung geometrische Viellfachheit dieser Matrix ist.

Trotzdem sind wir die geometrische Vielfachheit in unseren Vorlesungen noch nie behandelt.

Ich denke, dass wir auch die Tatsache verwenden sollen, dass die Eigenvektoren linear unabhängig sind. Ich weiß nur nicht wie.

Wie kann ich diese Frage beweisen?

Answer 1

dim_KV = l1 + l2 +... lk

==> Die Zusammenfügung aller Basen der Eigenräume

erzeugt einen Unterraum von V mit der Dimension dim_KV.

Also bildet sie eine Basis von V, die nur aus Eigenvektoren

besteht, also φ diagonalisierbar.

Comments

Hier ist aber gefragt, warum φ diagonalisierbar ist, wenn sie eine Basis von V bilded, die nur aus Eigenvektoren besteht.

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In den Spalten der Matrix stehen die Koeffizienten, die

man braucht, um die Bilder der Basisvektoren darzustellen.

Wenn etwa der 1. Basisvektor v₁ ist und ist Eigenvektor

zum EW a₁, dann ist sein Bild

 φ(v₁)=a₁*v₁=a1*v1+0*v2+0*v3 etc. also steht in der

ersten Spalte der Matrix an 1. Stelle a1 und sonst nur 0en. etc.