Anwendungsaufgabe Winkel zwischen Ebenen

Question

Aufgabe:

In einem Park steht ein Pyramidenstumpf, der als Klettermöglichkeit dient und als Boulderblock bezeichnet wird. Auf den vier Seitenwänden sind Kletterrouten geschraubt. Das umliegende ebene Gelände (Boden) liegt im Modell in der x-y-Ebene. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem
Meter in der Realität.
Im Modell sind die Punkte A(4|0|0), B(414|0), C(0|4|0) und D(0|0/0) die Eckpunkte der quadratischen Bodenfläche des Pyramidenstumpfs. Die Punkte E(5|013), F(5|5|3), G(0|5|3) und H(0|0|3) sind die Eckpunkte der parallel zur Bodenfläche verlaufenden, ebenfalls quadratischen Fläche.

1.2 Berechnen Sie den Neigungswinkel a der Seitenwand BCGF gegenüber dem Boden.

Problem/Ansatz:

Habe die allgemeine Formel mit

cos(alpha) = Skalarprodukt von n1 und n2 / Betrag von n1 * Betrag von n2 genommen

Den Normalenvektor von der Ebene W hatte ich richtig berechnet (0 3 -1). Da der Boden durch die x-y-Ebene dargestellt wird, habe ich  für n2 den Vektor (0 0 1) verwendet.

Mein Ergebnis ist falsch.

In der Musterlösung wird zwar mit der oben genannten Formel gerechnet, allerdings wird für n1 der Vektor CG = (0 1 3) verwendet, für n2 der Vektor (0 1 0).

Ich kann die Lösung nicht nachvollziehen. N1 verstehe ich noch, aber warum der Vektor (0 1 0), wenn es um die x-y-Ebene geht? Woher kommt der? Und warum genau ist mein Ansatz nicht richtig? Dachte, dass ich damit den Winkel zwischen zwei Ebenen mittels beider Normalenvektoren berechnen kann…

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Aloha :)

Die Musterlösung ist falsch!

Alle Punkte der Bodenplatte ABCD haben die z-Koordinate \(0\), liegen also in der xy-Ebene, als deren Normalenvektor wir die z-Achse selbst wählen können: \(\vec n_1=(0;0;1)^T\).

Von der Seitenwand BCGF bestimmen wir mit 3 Punkten$$B(4|4|0)\quad;\quad C(0|4|0)\quad;\quad G(0|5|3)$$den Normalenvektor$$\vec n_2=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BG}=(\vec c-\vec b)\times(\vec g-\vec b)=\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-4\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\12\\-4\end{pmatrix}$$

Für den gesuchten Winkel \(\varphi\) gilt daher:$$\cos\varphi=\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{\|\vec n_1\|\cdot\|\vec n_2\|}=\frac{-4}{1\cdot\sqrt{160}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}\implies\varphi\approx108,43^\circ$$

Beim Schnitt zweier Geraden oder Ebenen ist es üblich, den kleineren der beiden WInkel anzugeben, daher würde ich der Konvention folgen und \(180^\circ-108,43^\circ=71,57^\circ\) als Lösung angeben.

Answer 2

dass ich damit den Winkel zwischen zwei Ebenen mittels beider Normalenvektoren berechnen kann.

Das Vorgehen ist richtig.

In der Musterlösung wird zwar mit der oben genannten Formel gerechnet, allerdings wird für n1 der Vektor CG = (0 1 3) verwendet, für n2 der Vektor (0 1 0).

Das Vorgehen ist nicht richtig.