Zeigen Sie, dass
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Bedeutet: Bei endlichen Mengen ist die Anzahl der Elemente
von A ∪ B genauso groß wie die Summe der
Elementanzahlen von A und von B minus Elementeanzahl von A ∩ B.
Anschaulich kann man das wohl so verstehen:
Wenn ich X=A ∪ B bestimmen will, nehme ich erst mal in die
Menge X alle Elemente von A (Das sind also |A| Stück.) und schaue mir
dann die Elemente von B an, die ich noch hinzufügen muss.
Das sind genau die, die nicht in A ∩ B sind. Also |B|- |A ∩ B| Stück.
Dann habe ich also in X genau |A|+ ( |B|- |A ∩ B|). q.e.d.
b) Benutze |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| in
der Form |X ∪ Y| = |X| + |Y| − |X ∩ Y|. Und setze
X=A ∪ B und Y=C . Dann gibt das
|X ∪ Y|= |A ∪ B ∪ C|=|X ∪ Y|= |X| + |Y| − |X ∩ Y|
= |A ∪ B| +|C| - |(A ∪ B)∩C|
= |A ∪ B| +|C| - |(A ∩C )∪ (B∩C) |
Um |(A ∩C )∪ (B∩C) | zu bestimmen verwende die
obige Formel mit X=A ∩C und Y=B∩C dann hast du
|A ∪ B| +|C| - |(A ∩C )∪ (B∩C) |
= |A ∪ B| +|C| - ( |A ∩C| +|B∩C| - |A∩ C ∩ B ∩ C| | )
Wegen A∩ C ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C also
= |A ∪ B| +|C| - |A ∩C| - |B∩C| + |A∩ B ∩ C|
und wenn du noch |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| einsetzt
ist die fertige Formel
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| +|C|− |A ∩ B| - |A ∩C| - |B∩C| + |A∩ B ∩ C| .
