Zeigen Sie mit einer Potenzreihenentwicklung um x_{0}=0 , dass folgendes gilt:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus] Wir betrachten die Funk-
tionen
\( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right) \quad \text { und } \quad \cosh : \mathbb{R} \rightarrow[1, \infty), x \mapsto \frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right) . \)
a) Zeigen Sie mit einer Potenzreihenentwicklung um \( x_{0}=0 \), dass folgendes gilt:
\( \sinh (x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1) !} x^{2 n+1} \quad \text { und } \quad \cosh (x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n) !} x^{2 n} . \)
b) Zeigen Sie, dass \( \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt.
c) Wir definieren die Umkehrfunktionen von \( \sinh \) und \( \left.\cosh \right|_{[0, \infty)} \) durch \( \operatorname{arsinh}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \operatorname{arsinh}(x) \quad \) und \( \quad \operatorname{arcosh}:[1, \infty) \rightarrow[0, \infty), x \mapsto \operatorname{arcosh}(x) \). Zeigen Sie, dass \( \operatorname{arsinh}(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \) und \( \operatorname{arcosh}(y)=\ln \left(y+\sqrt{y^{2}-1}\right) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( y \in[0, \infty) \) gilt. Bestimmen Sie die Ableitungen von arsinh und arcosh.

Problem/Ansatz:

pp

Comments

Bin schlecht darin Aussagen zu beweisen.

Ich wäre dankbar für eine Losung!

Kann mir bitte jemand paar Tipps geben, wo ich solche Aufgaben mit Musterlosungen finden kann?

Answer 1

a) Taylorentwicklung um 0 ergibt

sinh(x)= sinh(0) + sinh'(0)*x + \(  \frac{sinh''(0)}{2!} \cdot x^2 \) + ...

    \( =\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{sinh^{(k)}(0)}{k!} x^{k} \)

Nun sind ja die Ableitungen von sinh immer abwechselnd

cosh und sinh und es ist cosh(0)=1 und sinh(0)=0

Damit fallen in der Summe die Summanden mit geradem

Index weg und es bleiben nur die mit ungeradem, also

     \( =\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \)  q.e.d.

Mit cosh entsprechend.

b)  \(  \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x) \)

 \( =(\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right))^{2}-( \frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)) ^{2} \)

\( =\frac{1}{4}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\frac{1}{4}\left(e^{x}-e^{-x}\right) ^{2} \)

\( =\frac{1}{4} ( \left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}\right) ^{2} )\)

Dann 3. binomi:

\( =\frac{1}{4} ( \left(e^{x}+e^{-x}\right)+\left(e^{x}-e^{-x}\right) ) \cdot ( \left(e^{x}+e^{-x}\right)-\left(e^{x}-e^{-x}\right) )\)

\( =\frac{1}{4} \cdot 2e^{x} \cdot 2e^{-x} \)

\( =\frac{1}{4} \cdot 4  = 1  \)  q.e.d.

c) einfach nachrechnen, ob sinh(arsinh(x))=x für alle x∈ℝ gilt.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!

Mein Tag ist gerettet!