Sinushyperbolicus und Kosinushyperbolicus: Beh: (cosh(x))^2 - (sinh(x))^2 = 1.

Question

Die Funktionen Sinushyperbolicus und Kosinushyperbolicus sind folgendermaben definiert:

\( \sinh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \sinh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right), \cosh : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \cosh (x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right) \)

Zeigen Sie:

(i) \( \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1 \).

(ii) \( \cosh (x)=\cosh (-x) \) und \( \sinh (-x)=-\sinh (x) \).

Answer 1

Du musst bei (I) die Definitionen in die Formeln einsetzen und dann Binomische Formeln und Potenzgesetze benutzen. So sollte das Gewünschte resultieren.

(cosh(x))^2 - (sinh(x))^2 = 1/4(e^x + e^{-x})^2 - 1/4(e^x - e^{-x})^2

= 1/4 ( e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - 1/4(e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = 1/4 * 4 = 1 qed.

Bei (ii) -x anstelle von x in die Formeln einsetzen und vereinfachen:

cosh(-x) = 1/2 ( e^ (-x) + e^ (-(-x))) = 1/2 ( e^ (-x) + e^ x) = cosh(x)

sinh(-x) = 1/2 ( e^ (-x) - e^ (-(-x))) = 1/2 ( e^ (-x) - e^ x) = -1/2 (e^x - e^{-x}) = - sinh(x)