Widerspruchsbeweis einer nicht leeren Schnittmenge

Question

Text erkannt:

Sei \( (X, d)=\left(\mathbb{R}^{3},\|\cdot\|_{2}\right) \) und bezeichne \( K \subset \mathbb{R}^{3} \) die Kugeloberfläche einer Kugel, deren Mittelpunkt dem Ursprung und deren Radius \( 1 / 2 \) entspricht. Weiter seien \( A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq \ldots \) nicht-leere, abgeschlossene Teilmengen von \( K \) und es gelte
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \delta\left(A_{n}\right)=0 \)
wobei \( \delta(M):=\sup _{a, b \in M}\|a-b\|_{2} \) für \( M \subseteq \mathbb{R}^{3} \). Zeigen Sie: \( \left|\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}\right|=1 \).
Hinweis: Zeigen Sie zunächst durch einen Widerspruchsbeweis, dass die betrachtete Schnittmenge nicht leer ist.

Hiii, die anderen Aufgaben konnte ich recht schnell lösen, aber hier habe ich irgendwie gar keine Idee, wie ich da herangehen soll, bzw. wie der Widerspruchsbeweis funktioniert. Gibt es jemanden der diesen Beweis versteht und mir helfen kann?

Answer 1

Du kannst auch direkt zeigen, dass der Schnitt nichtleer ist.

Für \(\epsilon > 0\) gibt es ein \(N_{\epsilon}\), so dass für alle \(n\geq N_{\epsilon}\)

\(\delta(A_n) < \epsilon\)

Nun wähle \(a_n \in A_n\) beliebig. Dann gilt für \(n,m \geq N_{\epsilon}\):

\(A_n,A_m \subseteq A_{N_{\epsilon}} \Rightarrow ||a_n - a_m|| \leq \delta(A_{N_{\epsilon}}) < \epsilon\)

Also ist \(a_n\) Cauchy-Folge und hat somit einen Grenzwert

\(\lim_{n\to\infty}a_n = a^{\star}\)

Da alle \(A_n\) abgeschlossen sind, gilt \(a^{\star} \in A_n\) für alle \(n\).

Also \(a^{\star} \in \bigcap_{n\in\mathbb N} A_n\).

Ist außerdem \(b \in \bigcap_{n\in\mathbb N} A_n\), dann gilt

\(0\leq ||a^{\star} - b|| \leq \delta(A_n)\) für alle \(n\in \mathbb N \Rightarrow a^{\star} = b\).

Fertig.