Bestimmen sie eine Gleichung der Schnittgeraden

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die zwei Ebenen E1 und E2 durch die Gleichungen

E1: x=(0;1;2) + r(5;0;-2) + s(1;1;-1)

E2: y+z=2

E1 und E2 schneiden sich. Bestimmen sie eine Gleichung der Schnittgeraden

Problem/Ansatz:

Hey Leute :)

Ich habe ein Problem mit der Aufgabe da ich mir einfach nicht zu 100% sicher bin mit dem Ergebnis.

Also ich setzte E1 in E2 ein und dann kennzeichnet y die 2. Zeile und z die 3. Zeile. da es kein x gibt halte ich die 1.Zeile jetzt für nicht brauchbar.

Meine Gleichung ist dann (1+s) + (2-2r-s)=2, wo dann r=0,5 rauskommt.

Das Setzte ich in E1 ein und bekomme als schnittgerade g:x=(2,5;1;0) + s(1;1;-1) raus. Ist das so richtig?

Wäre nett wenn mich jemand aufklären könnte.

Answer 1

Visualisieren zeigt, das nein

Deine Gerade ist die schwarze - überprüfe das Einsetzen in die Ebene 0 x+y+z=2 - sonst stimmt alles!

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$E_1\colon\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}5\\0\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\quad;\quad E_2\colon y+z=2$$

Deine Idee, \(E_1\) in \(E_2\) einzusetzen ist sehr gut:$$2=y+z=(1+s)+(2-2r-s)=3-2r\implies r=\frac12$$

Dieses \(r\) setzt du in die Ebenengleichung \(E_2\) ein und erhältst die Schnittgerade:$$g\colon\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}5\\0\\-2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2,5\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

Dein Ergebnis ist also fast richtig, eine kline Unachtsamkeit hat sich beim Rechnen eingeschlichen.

Comments

Vielen Dank :)