Gleichung der Schnittgeraden

Question

Ich bräuchte bitte Hilfe.

Gegeben:

E0: −4x+8y+2z=−4
E1: x+2y−4z=−10

Aufgabe:

Geben Sie die Gleichung ihrer Schnittgeraden an.

Comments

- 4·x + 8·y + 2·z = -4
x + 2·y - 4·z = -10

4*II + I

16·y - 14·z = -44

Nach y in Abhängigkeit von z auflösen

y = 7/8·z - 11/4

Das in die eine Gleichung mit x einsetzen und nach x auflösen

x + 2·(7/8·z - 11/4) - 4·z = -10

x = 9/4·z - 9/2

Damit ist die Lösung

[9/4·z - 9/2; 7/8·z - 11/4; z] = [- 9/2; - 11/4; 0] + z·[9/4; 7/8; 1] 

Das könnte man jetzt noch etwas aufpolieren damit man schöne Werte hat. muss man aber nicht. Man könnte es auch so stehen lassen.

Answer 1

E₀: −4x + 8y + 2z = −4    ⇔ -2x + 4y + z = -2
E₁:  x + 2y - 4z = - 10

Für die Schnittgerade g benötigt man einen Richtungsvektor und einen Punkt von g

Als Richtungsvektor \(\vec{u}\) kann man das Kreuzprodukt der Normalenvektoren beider Ebenen nehmen:

\(\vec{u}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\) x \( \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 18 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}\) 

Ein gemeinsamee Punkt beider Ebenen ergibt sich als beliebige Lösung des Gleichungssystems

-2x + 4y + z = -2  

  x + 2y - 4z = -10 

Da man nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte hat, kann man für eine beliebige Lösung eine Unbekannte frei wählen und die beiden anderen passend ausrechnen:

Sei also x = 0

4y + z = -2  (G1)

2y - 4z = -10  | • 2

4y - 8z = -20 (G2)

G1 - G2:

 9z = 18  →  z = 2

z in G1 → 4y + 2 = -2 → 4y = -4 → y = -1

Schnittgerade:  \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} 18 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix}\)  mit  r∈ℝ

Gruß Wolfgang

Answer 2

Löse das lineare Gleichungssystem

        −4x+8y+2z=−4
        x+2y−4z=−10

Comments

Ich hab schon was versucht zu rechnen, aber ich komme nicht auf eine richtige Lösung.

Kannst du mir bitte helfen?

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Zeig mal deinen Rechenweg. Woran hast du erkannt, dass es sich um eine falsche Lösung handelt?