Umparametrisierung und Länge der Kurve

Question

Umparametrisierung und Länge der Kurve

Aufgabe:

Sei $$\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R^n}$$ eine stetig differenzierbare reguläre Kurve der Länge L.

1.Zeigen Sie, dass es eine $\phi^{-1}$-Umparametrisierung $$\phi:\,[0,L] \rightarrow [a,b]$$ gibt, derart, dass $\gamma(t)=\gamma(\phi(t)$ nach Bogenlänge parametrisiert ist.

Tipp: $$\phi^{-1}(t)= \int_a^b ||\gamma'(s)||ds$$

2. Berechnen Sie die Länge der Kurve $$\gamma[0,b] \rightarrow \mathbb{R^2}, \quad\gamma(t)=\begin{pmatrix} e^t \cos(t)\\e^t \sin(t) \end{pmatrix}$$Bestimmen Sie $\phi$, so dass die Kurve $$\gamma(t)=\gamma(\phi(t))$$ nach Bogenlänge parametrisert ist.

Problem/Ansatz:

zu 1 habe ich keine Idee wie das zeigen soll

zu 2 habe ich für die Länge der Kurve $$L= \int_0^b e^t \sqrt{2}$$ raus, stimmt das?

Gefragt 3 Mai 2023 von Aschenputtel

📘 Siehe "Analysis" im Wiki

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trancelocation · Answer 1 · 2023-05-03T11:24:43+0000

(1)

$\gamma: [a,b]\rightarrow \mathbb R$ ist regulär. Also ist insbesondere $||\gamma'(t)|| > 0$ auf $[a,b]$.

Betrachte nun

$L:\;[a,b]\rightarrow [0, \mathcal L]$ mit $L(t) = \int_a^t ||\gamma'(\tau)|| \; d\tau$.

Hierbei ist $\mathcal L = \int_a^b ||\gamma'(\tau)|| \; d\tau$ per Definition die Länge der Kurve $\gamma$.

$L$ ist streng monoton wachsend und stetig differenzierbar mit

$L'(t) = ||\gamma'(t)|| > 0 $.

Insbesondere existiert somit

$\phi = L^{-1} :\;[0, \mathcal L] \rightarrow [a,b]$

$\phi$ ist stetig differenzierbar und $\frac d{dl}\phi(l) >0$ für $l\in [0,L]$.

Damit haben wir die folgende reguläre Umparametrisierung von $\gamma$:

$\gamma^{\star}(l) = \gamma(\phi(l))$ mit $l\in[0,\mathcal L]$.

Für $l\in[0,\mathcal L]$ gilt nun

$\int_0^l||\frac d{d\lambda}\gamma^{\star}(\lambda)|| d\lambda$

$= \int_0^l||\gamma'(\phi(\lambda))\cdot \frac{d\phi}{d\lambda}|| d\lambda$

$\stackrel{\frac{d\phi}{d\lambda}>0}{=} \int_0^l||\gamma'(\phi(\lambda)) || \frac{d\phi}{d\lambda}d\lambda$

$\stackrel{\text{Substitution}}{=} \int_{a}^{t=\phi(l)}||\gamma'(\tau) || d\tau$

$= L(\phi(l)) \stackrel{\phi = L^{-1}}{=} l$

D.h., von $0$ bis $l$ hat $\gamma^{\star}$ genau die Länge $l$ für alle $l\in [0,\mathcal L]$. Somit ist die Kurve mit der Bogenlänge parametrisiert.

(2)

Richtig gerechnet. Du kannst das Integral noch auswerten:

$\mathcal L = \sqrt 2 \int_0^b e^t \,dt = \sqrt2(e^b-1)$

Nachträglich:

Umparametrisierung der Kurve bei 2.

$L(t) = \sqrt 2\int_0^t e^{\tau}\; d\tau = \sqrt 2(e^t - 1)$

$\phi = L^{-1}$:

$l = \sqrt 2(e^t - 1)$ muss für $l \in [0, \mathcal L]$ nach $t$ aufgelöst werden:

$\Rightarrow t = \ln \left(\frac l{\sqrt 2} + 1\right) = \phi(l)$

Die nach Bogenlänge parametrisierte Kurve ist somit:

$\gamma^{\star}:\; [0, \mathcal L]\rightarrow \mathbb R^2$ mit

$\gamma^{\star}(l) = \gamma(\phi (l)) = \left(\frac l{\sqrt 2} + 1\right) \begin{pmatrix} \cos \left(\ln \left(\frac l{\sqrt 2} + 1\right)\right) \\ \sin \left( \ln \left(\frac l{\sqrt 2} + 1\right) \right) \end{pmatrix} $

Umparametrisierung und Länge der Kurve

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