Länge einer Kurve in Abhängigkeit von r und h Berechnen

Question

Aufgabe: Länge einer Kurve

Problem/Ansatz:

Hey :)

Könnte mir jemand bei der Aufgaben helfen )

Wir betrachten eine Schraubenlinie mit Radius r ∈ ℝ⁺und Ganghöhe h ∈ ℝ⁺:
φ : [0,1] → ℝ³, φ(t) = (r cos t, r sin t,ht)^T

Berechnen Sie die Länge von φ in Abhängigkeit von r und h.

Answer 1

Aloha :)

Werner hat die Lösung ja bereits schön erklärt. Hier noch die konkrete Rechnung dazu, falls du sie gerne nachvollziehen möchtest...$$L=\int\limits_{\vec\varphi(0)}^{\vec\varphi(1)}d\varphi=\int\limits_{\vec\varphi(0)}^{\vec\varphi(1)}\left|d\vec\varphi\right|=\int\limits_0^1\left|\frac{d\vec\varphi(t)}{dt}\right|\,dt=\int\limits_0^1\left|\begin{pmatrix}-r\sin t\\r\cos t\\h\end{pmatrix}\right|dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^1\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t+h^2}\,dt=\int\limits_0^1\sqrt{r^2+h^2}\,dt=\left[\sqrt{r^2+h^2}\cdot t\right]_{t=0}^1$$$$\phantom{L}=\sqrt{r^2+h^2}$$

Answer 2

Hallo,

die Schraubenlinie befindet sich auf der Mantelfläche eines Zylinders mit Radius \(r\) und der Höhe \(h\). Wenn man nun diese Schraubenlinie auf eine Ebene abwickelt, indem man den Zylinder auf der Ebene abrollt (beginnend bei \(t=0\)), dann bildet sie die Diagonale eines Rechtecks mit den Abmessungen \(h \times r\).

Folglich ist die Länge \(s\) der Schraubenlinie die Länge der Diagonale$$s = \sqrt{h^2 +r^2}$$Gruß Werner