Berechne vom Kraftfeld F die verrichtete Arbeit

Question

Aufgabe:

Berechne die von dem Kraftfeld F(x,y,z)=$\begin{pmatrix} x\\3xy\\-(x+z) \end{pmatrix}$ auf dem Geradenstück/ der Strecke von (1,4,2) nach (0,5,1) verrichtete Arbeit.

Comments

Welche Formeln kennst du?

Was weißt du über den Sachverhalt?

Answer 1

Aloha :)

Arbeit ist "Kraft mal Weg". Du kannst daher die benötigte Arbeit $A$ infinitesimal bestimmen:$$A=\int\limits_{(1;4;2)}^{(0;5;1)}\vec F\,d\vec r=\int\limits_{(1;4;2)}^{(0;5;1)}\begin{pmatrix}x\\3xy\\-(x+z)\end{pmatrix}\,d\vec r$$

Die Arbeit durch das Kraftfeld $\vec F$ hängt im Allgemeinen vom gewählten Weg ab. Daher müssen wir uns Gedanken darüber machen, wie die infinitesimalen Schritte $d\vec r$ aussehen.

Die Strecke vom Startpunkt zum Endpunkt können wir wie folgt beschreiben:$$\vec r(t)=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0-1\\5-4\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-t\\4+t\\2-t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$

Wir können daher die Integration über $d\vec r$ durch eine Integration über $dt$ ersetzen:$$A=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}x(t)\\3x(t)y(t)\\-(x(t)+z(t))\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}1-t\\3(1-t)(4+t)\\-((1-t)+(2-t))\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\,dt$$$$\phantom A=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}1-t\\-3t^2-9t+12\\2t-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\,dt=\int\limits_{t=0}^1\left[-(1-t)+(-3t^2-9t+12)-(2t-3)\right]dt$$$$\phantom{A}=-\int\limits_{t=0}^1\left(3t^2+10t-14\right)dt=-\left[t^3+5t^2-14t\right]_{t=0}^1=8$$

Man benötigt also $8$ Joule, um den gewählten Weg durch das Kraftfeld $\vec F$ zu nehmen.

Dabei ist angenommen, dass alle Einheiten die SI-Standardeinheiten sind.

Answer 2

Hallo

1. Schritt: Schreibe den Weg s(t)= als parametrisiertes Geradenstück auf. Parameter t

2. Schreibe F als  Funktion von x(t),y(t),z(t) auf. bestimme das Skalarprodukt F(t)*s'(t) und integriere über das Zeitintervall .

Welchen Teil davon kannst du denn nicht?

Gruß lul