Aloha :)
Arbeit ist "Kraft mal Weg". Du kannst daher die benötigte Arbeit \(A\) infinitesimal bestimmen:$$A=\int\limits_{(1;4;2)}^{(0;5;1)}\vec F\,d\vec r=\int\limits_{(1;4;2)}^{(0;5;1)}\begin{pmatrix}x\\3xy\\-(x+z)\end{pmatrix}\,d\vec r$$
Die Arbeit durch das Kraftfeld \(\vec F\) hängt im Allgemeinen vom gewählten Weg ab. Daher müssen wir uns Gedanken darüber machen, wie die infinitesimalen Schritte \(d\vec r\) aussehen.
Die Strecke vom Startpunkt zum Endpunkt können wir wie folgt beschreiben:$$\vec r(t)=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0-1\\5-4\\1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-t\\4+t\\2-t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0;1]$$
Wir können daher die Integration über \(d\vec r\) durch eine Integration über \(dt\) ersetzen:$$A=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}x(t)\\3x(t)y(t)\\-(x(t)+z(t))\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}1-t\\3(1-t)(4+t)\\-((1-t)+(2-t))\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\,dt$$$$\phantom A=\int\limits_{t=0}^1\begin{pmatrix}1-t\\-3t^2-9t+12\\2t-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\,dt=\int\limits_{t=0}^1\left[-(1-t)+(-3t^2-9t+12)-(2t-3)\right]dt$$$$\phantom{A}=-\int\limits_{t=0}^1\left(3t^2+10t-14\right)dt=-\left[t^3+5t^2-14t\right]_{t=0}^1=8$$
Man benötigt also \(8\) Joule, um den gewählten Weg durch das Kraftfeld \(\vec F\) zu nehmen.
Dabei ist angenommen, dass alle Einheiten die SI-Standardeinheiten sind.
