Potenzreihen der Ordnung x^4

Question

Hallo, wie geht man an die Aufgabe ran?

In den Klammern steht, dass die ersten 4 Terme der Potenzreihen bestimmt werden sollen. Heißt das, dass man bei z.B. log(1+x) für k_0-3 einsetzt? Ich komme nicht ganz weiter und alleine durch das Einsetzten kann die Aufgabe noch nicht gelöst sein. Ich bedanke mich im Voraus

Text erkannt:

Betrachte eine allgemeine Reihe \( f(x)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+c_{3} x^{3}+O\left(x^{4}\right) . O\left(x^{4}\right) \) bedeutet hier Terme der Ordnung \( x^{4} \) und höher.
a) Berechne die Koeffizienten so, dass \( f(x) \cdot f(x)=1+x+O\left(x^{4}\right) \) gilt. (Bestimme also die ersten vier Terme der Potenzreihe von \( f(x)=\sqrt{1+x} \).).
b) Berechne die Koeffizienten so, dass \( \exp (f(x))=1+x+O\left(x^{4}\right) \) gilt. (Bestimme also die ersten vier Terme der Potenzreihe von \( f(x)=\log (1+x) \).)
c) Berechne die Koeffizienten von \( \sin (3 x) \) und \( \cos (3 x) \) bis inklusive Ordnung 4 (Verwende z.B. \( \cos (3 x)+ \) \( \left.i \sin (3 x)=\exp (i 3 x)=(\cos (x)+i \sin (x))^{3}\right) \)

Answer 1

(a)  \(f(x)=\sqrt{1+x}=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+O(x^4)\)$$\begin{aligned}f(x)\cdot f(x)&=1+x\\&=(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+O(x^4))\cdot(c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+O(x^4))\\&=c_0^2+2c_0c_1x+(2c_0c_2+c_1^2)x^2+(2c_0c_3+2c_1c_2)x^3+O(x^4).\end{aligned}$$Koeffizientenvergleich liefert$$\implies\left\lbrace\begin{array}{rcl}c_0^2=1&\implies&c_0=1\\2c_0c_1=1&\implies& c_1=\frac12\\2c_0c_2+c_1^2=0&\implies&c_2=-\frac18\\2c_0c_3+2c_1c_2=0&\implies&c_3=\frac1{16}.\end{array}\right.$$Bemerkung: Die Lösung \(c_0=-1\) entfällt wg. \(c_0=f(0)=1\).

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Wie kommt man beim Koeffizienten Vergleich auf die 1,1,0,0? Danke im Voraus

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Es soll gelten$$f(x)\cdot f(x)=1+x=\red1+\red1\cdot x+\red0\cdot x^2+\red0\cdot x^3.$$Die beiden ersten Koeffizienten sind \(1\), die aller höheren Potenzen von \(x\) sind \(0\).