Entwicklungspunkt und Konvergenzradius von folgenden Potenzreihen bestimmen: ∑_(k=1) z^{4K}/4^k

Question

∑_(k=1) z^{4K}/4^k 

Und

∑_(k=0) (-1)^k*z^{2k}/(3k)!

Comments

Ich bräuchte Hilfe dabei beide Reihen so umzuformen , dass da so etwas wie

∑_(k=0)c_k*(z-a)^k steht.

Answer 1

a)

$$ \sum_{k=1}^{\infty}{\frac { { z }^{ 4k } }{ 4^k }}=\sum_{n=1}^{\infty}{ c }_{ n }z^n\\mit \quad { c }_{ n }=\frac { 1 }{ { 4 }^{ \frac { n }{ 4 } } }\quad wenn \quad n=4k\\=0 \quad sonst $$

Comments

Ähmm... ich verstehe nicht wie man dadrauf kommt ... wenn ich für n = 4^k einsetze ist c_n doch 1/4^k und dass kann doch nicht stimmen denn das wäre ja wie die erste Reihe und da ist es doch z^4k

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Nein, das Quotientenkriterium ist nicht anwendbar, da unendliche viele Folgenglieder 0 sind. Verwende stattdessen die Formel von Cauchy-Hadamard.

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Also der Entwicklungspunkt ist 0 und für R nutze ich das hadamard Kriterium mit c_k = 1/4^{4K/4} ?

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Ja Entwicklungspunkt ist 0.

Bei Cauchy-Hadamard benutz man den limes superior, also setzt du dort als Folge

c_n=1/(4^{n/4}) ein. k Kommt bei meiner Wahl des Index gar nicht mehr vor.

$$ R=\frac { 1 }{ \lim_{n\to\infty} sup \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ { 4 }^{ n/4 } } } }\\=\frac { 1 }{ \lim_{n\to\infty} sup \frac { 1 }{ { 4 }^{ 1/4 }  } }=\sqrt { 2 } $$

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Ah vielen dank. Und für b) wie forme ich, dass um