Komplexe Potenzreihen. Entwicklungspunkt zo und Konvergenzradius p gesucht

Question

Nur die 3.aufgabe

Ich verstehe nicht wie man darauf kommt.

Vielen Dank

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EDIT: Bitte Text auch als Text eingeben: https://www.mathelounge.de/schreibregeln 

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Meinst du die vierte ?

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Ein Problem scheint es bei der Aufgabe 4c) zu geben.

Ein Brocken daraus wurde wohl aus dem Zusammenhang gerissen und hier gefragt: https://www.mathelounge.de/459633/komplexe-zahlen-betrag-berechnen-abs-sqrt-2-1i-n-1-2i

Answer 1

Bei 4c ist der Term, an dem du den Entwicklungspunkt ablesen kannst

(z+3)ⁿ also  z_o = -3

Die Koeffizienten sind dann

( (√2  + iⁿ ) / (1 + 2i)  )ⁿ  bei dem

Wurzelkriterium musst du den lim sup von

|√2  + iⁿ| / |1 + 2i|  untersuchen

 |1 + 2i| = √5   und

|√2  + iⁿ|  hat seinen größten Wert  wenn n durch 4 teilbar ist,

Dann ist es  |√2  + 1 |  = √2  + 1

Also hat  |√2  + iⁿ| / |1 + 2i|  den lim sup = ( √2  + 1  ) /  √5

und der Konvergenzradius ist der Kehrwert davon.

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Vielen Dank

Dami kann ich viel anfangen!

Answer 2

Hallo immai,

Das mit den Potenzreihen sollte doch bei DIr langsam klappen. Denn wie schon hier beschrieben gilt allgemein

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z  - z_0)^n$$ Angewendet auf die erste Aufgabe setze ich zunächst \(\frac{z-i}{1+i}=a(z  - z_0)\), um \(z_0\) zu bestimmen:
$$\frac{z-i}{1+i}=a(z  - z_0) \quad \Rightarrow z-i=az(1+i)  - az_0(1+i)$$ dies muss für alle(!) \(z\) gelten. Deshalb kann man die Koeffizienten gleich setzen$$1=a(1+i) \quad \text{und} \space -i=-az_0(1+i) $$ $$\Rightarrow a= \frac{1}{1+i}=\frac{1}{2}(1-i); \quad z_0=\frac{i}{a(1+i)}=i$$Einsetzen in den Term der allgemeinen Potenzreihe
$$f(z)=\sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{z-i}{1+i}\right)^n=\sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1-i}{2}\right)^n \cdot (z - 1)^n$$ Zeigt uns, dass $$a_n=\left( \frac{1-i}{2}\right)^n$$ ist. Das Quotientenkriterium liefert: $$\rho=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\left( \frac{1-i}{2}\right)^n}{\left( \frac{1-i}{2}\right)^{(n+1)}} \right| = \left| \frac{2}{1-i} \right|= \left| \frac{2(1+i)}{1-(-1)} \right|= \left| 1+i \right|=\sqrt{2}$$
.. versuche die anderen beiden Terme mal selbst und beschreibe konkret Deine Probleme, falls Du nicht weiter kommst.

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Auch dir

Ich hab die lösung nicht richtig angesehrn

Werde es aber versuchen wie du es gezeigt hast :)

Die 2 versuche ich dann^^