Bestimmen der Potenzreihen (Taylorreihen) mit Entwicklungspunkt x0=0

Question

Aufgabe:

Bestimmen der Potenzreihen (Taylorreihen) mit Entwicklungspunkt x₀=0

Problem/Ansatz:

ich habe bei folgenden Aufgaben das Problem, dass ich einfache Taylorreihen wie e^x oder cos(x) mithilfe von einer Formelsammlung zwar entwickeln kann, sobald das Ganze aber kombiniert mit weiteren Faktoren wird, steige ich leider aus. Gerne könnt ihr mir bei folgenden Aufgaben helfen:
f(x)= x³ * e^6x in x₀ = 0

f(x)= x² * cos(3x) in x₀ = 0

f(x)= x⁵/(1+x³)  in x₀ = 0

Comments

Für die 2. Funktion f(x)=x^2*cos(3x) benutzt du zum Ableiten auch die Kettenregel, innere Ableitung man äußere Ableitung und zusätzlich die Produktregel musst du anwenden, also hast du f'(x) 2x*cos(3x)-x^2 sin (3x) * 3 und machst es so für die übrigen Ableitungen.

Dann wieder Entwicklungsstelle in die Funktion und ihren Ableitungen einsetzen. f'(0)=2*0*cos(0)-x^2sin(0)*3

Da cos(0)=1 und sin(0)=0, ergibt 1*0=0 also 0=f'(0) setzt das in die Taylorformel hinein und gehst so mit den anderen Ableitungen und mit der Funktion genauso vor.

Answer 1

Als erstes leitest du erstmal die Funktion mehrmals ab (je nachdem, bis zu welcher Ordnung.

f(x)= x^3 * e^(6x)

f'(x)=3x^2 * 6e^(6x)

f''(x)=9x*36e^(6x)

f'''(x)=9*36*6*e^(6x)

Die 4. Ableitung und alle höheren Ableitungen werden null, da schon die Konstante 9 dann null wird

denn 0 * irgendwas = 0

Dann setzt du  deine Entwicklungsstelle x=0 in die Funktion und ihre Ableitungen hinein, z.B. f(0)=0^3*e^(6*0) und machst das auch für die restlichen Ableitungen und dann setzt du diese Ergebnisse in die Taylorformel ein.

Comments

Erstmal danke dir für die schnelle Antwort. Aber bist du dir sicher, dass deine Ableitung stimmt?

Ich hätte nämlich gesagt, man braucht noch die Kettenregel sprich

f(x)= x³ * e^6x

f'(x)= 3x² * e^6x + x³ * 6e^6x

Stimmt das oder stehe ich gerade auf dem Schlauch? xD

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Ui Ich habe aus Versehen die Produktregel vergessen Bei deer ersten Funktion, Deins stimmt.

Gut aufgepasst!

LG

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Okay, aber genauso habe ich das Ganze schonmal gerechnet. Ist halt sehr viel Schreibkram und man kommt ziemlich schnell durcheinander. Gibt es denn einen Trick, wie man die Ursprungsgleichung direkt in eine Summenschreibweise umformen kann (anhand von Standard Reihen wie e^x)?

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Bei e^x kannst du das direkt sofort deine Entwicklungsstelle in x einsetzen, da die Ableitungen von e^x immer die gleichen wie die Funktion selbst sind.

Leider ist das bei den meisten Funktionen nicht so einfach und du musst am besten erst die Ableitungen einer Funktion berechnen und in diesen inklusive der Funktion selbst deine Entwicklungsstelle einsetzen.

Wenn du es mit dem Summenzeicheb als Reihe auffassen musst, schreibst du die jeweiligen Ergebnisse als Faktorzerlegung um, so kann man das Muster der Reihe besser erkennen.

LG

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Die 4. Ableitung und alle höheren Ableitungen werden null, da schon die Konstante 9 dann null wird

Bei Exponentialfunktionen? Konstante Faktoren fallen weg?

Ohauaha!