Bestimmen Sie h so, dass das Volumen der Schaufel den größten Wert annimmt.

Question

Aus einem quadratischen Stück Blech mit der Seitenlänge a =100 cm soll durch Abschneiden von

zwei Dreiecken und zwei Quadraten (siehe skizze 1) und anschließendes Aufbiegen der Seitenteile
eine Schaufel gefertigt werden.

Extremwertaufgaben
a) Stellen Sie die Funktion des Volumens \( V(h)) der Schaufel in Abhängigkeit von der Höhe h dar. Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für h an (Hinweis: Die Schaufel stellt einen halben Quader dar).
b) Gehen Sie nun davon aus, dass sich das Volumen nach der Funktion \( V(h)=h^{3}-150 h^{2}+  5000 h berechnet. Bestimmen Sie h so, dass das Volumen der Schaufel den größten Wert annimmt. Bestimmen Sie das maximale Volumen max

Problem/Ansatz:

Mir fällt der Ansatz zur Aufgabe b). Eine Lösung aus dem Internet sagt, das für V'(h)= 3h^2-300h+5000 rauskommen soll. Ich habe keine Ahnung, wie die darauf kommen. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen

Comments

Ich nehme an, das sind die Skizzen zu der Aufgabe:

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Ja genau, vielen Dank fürs raussuchen

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Du hast die Funktion für das Volumen und ihre Ableitung gegeben. Wie gehst du denn normalerweise vor, wenn das Maximum gesucht ist?

Answer 1

Der Boden der Schaufel ist doch (a-h)(a-2h)

und ( siehe Hinweis) es ist ein halber Quader

mit der Höhe h, also

V(h)=(a-h)(a-2h) *h/2 = ( a^2*h -3ah^2+h^3)/2

Definitionsbereich (damit alles positiv ist)  2h<a bzw. h<a/2

und für a=100 gibt das \( V(h)=h^{3}-150 h^{2}+  5000 h \)

hier also D=(0;50)

==>  V ' (h) = 3h^2-300h+5000

Maximum bestimmen durch V ' (h) = 0

führt auf (ungefähr) h=21,13   oder h=78,87

Da 78,87 nicht in D

liegt das Maximum bei h=21,13

und beträgt etwa 48113.

Comments

Vielen vielen Dank, ich habs verstanden