Für welchen Wert von z ist das Volumen des so entstehenden Kegels maximal?

Question

Aufgabe:

f(x)= (x-2)*e^x

Die Punkte A(z|0), B(z|f(z)) und C(2|0) bilden für z<2 ein Dreieck, das um die x-achse rotiert. Für welchen Wert von z ist das Volumen des so entstehenden Kegels maximal?

Problem/Ansatz:

Als Hauptbedingung hab ich die Volumenformel des Kegels: Pi/3*r^2*h da diese ja maximal werden soll.

Doch was ist hier die Nebenbedingung bzw. die Zielfunktion?

Danke im Voraus

Answer 1

V = 1/3·pi·r^2·h

V = 1/3·pi·f(z)^2·(2 - z)

V = 1/3·pi·((z - 2)·e^z)^2·(2 - z)

V = 1/3·pi·e^(2·z)·(2 - z)^3

V' = 1/3·pi·e^(2·z)·(z - 2)^2·(1 - 2·z) = 0 → z = 1/2

Comments

Kannst du mir bitte erklären, wie du die Ableitung gemacht hast, ich krieg sie irgendwie nicht hin :(

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Ein Produkt wird mit der Produktregel abgeleitet.

Sind beide Faktoren dieses Produkts verkettete Funktionen, so muss bei Ableiten des jeweiligen Faktors die Kettenregel angewendet werden.

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Ich habe als Ableitung: Pi/3*e^2z*2*(z-2)^3+pi/3*e^2z*3*(z-2)

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Ich habe als Ableitung: Pi/3*e^2z*2*(z-2)3+pi/3*e^2z*3*(z-2)

Hinter deiner letzten Klammer fehlt "hoch 2".

Dann kannst du in deiner erhaltenen Summe nicht nur π/3, sondern auch (z-2)² und e^2z ausklammern.

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Die Gleichung V'(x)=0 hat neben der Lösung z=1/2 die zweite Lösung z=2.

Auch wenn sich hinterher herausstellt, dass es damit kein Maximum gibt, darf das nicht von vornherein unterschlagen werden.

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Wenn man eine Ableitung nicht selber hinbekommt, könnte man zunächst mal einen Ableitungsrechner befragen

https://www.ableitungsrechner.net/

Und wenn du den nicht verstehst, dann kannst du auch hier nochmal nachfragen. Schreibe dann bitte dazu, was du vom Ableitungsrechner nicht verstehst.

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@abakus

Wenn ich jetzt Pi/3*e^2z*(z-2)^2 ausklammer dann hab ich ja noch einmal (z-2) über, die 2 und die 3. Was muss ich damit machen?

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Darum geht es doch nicht wirklich. Er konnte (abgesehen vom fehlenden "hoch 2" am Ende die Ableitung selbst bestimmen.

Ihm fehlen die Schritte von seiner Summendarstellung zu deiner Produktdarstellung und vermutlich auch das Problembewusstsein dafür, dass seine Summenform weniger dazu geeignet ist, den Term gleich 0 zu setzen

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Auch wenn sich hinterher herausstellt, dass es damit kein Maximum gibt, darf das nicht von vornherein unterschlagen werden.

Bitte lesen: Die Punkte A(z|0), B(z|f(z)) und C(2|0) bilden für z<2 ein Dreieck

z = 2 ist also nicht mal im Definitionsbereich also darf man diese Lösung für einen entarteten Kegel mit der Höhe null getrost streichen.

Und ich bitte dich weiterhin unnötige Kommentare in meinen Antworten bitte zu unterlassen.

Ansonsten werde ich Antworten die evtl. nur die Schüler verwirren einfach löschen. Wenn du mit meiner Lösung nicht einverstanden bist, dann steht es dir frei selber eine zu schreiben.

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Ah, ich habs. Muss nicht aber in die letzte klammer (-1+2z)  und nicht (1-2z) oder ist das egal?

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Es war aber gut, dass er gesagt hat, dass es 2 Lösungen gibt, weil unser Lehrer immer alle Lösungen fordert und wir dann kenntlich machen sollen, dass diese nicht zur Aufgabe passt

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Beachte, dass der Ableitungsrechner noch ein Minus vor der Ableitung stehen hat. Ich vereinfache das gleich, indem ich das Minus mit in die Klammer ziehe.

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Also passt das was ich habe?

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Ich habe jetzt Pi/3*e^(2z)*(z-2)^2*(2z-1)

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Wenn ich z=1/2 in die 2. Ableitung einsetze bekomme ich da ein positives Ergebnis heraus. Dann ist doch aber das Volumen minimal oder nicht?

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Da du schon mit der ersten Ableitung deine Probleme hattest: Hast du die zweite Ableitung richtig berechnet?

Teste dein Ergebnis erst mal mit dem Ableitungsrechner.

So sieht die Ableitung und der Graph davon mit Geogebra aus:

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{1}{3} \pi e^{2 x}(2-x)^{3} \)
\( f^{\prime}(x)=\frac{1}{3}\left(4 \pi e^{2 x}-12 \pi x e^{2 x}+9 \pi x^{2} e^{2 x}-2 \pi x^{3} e^{2 x}\right) \)
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{3}\left(-4 \pi e^{2 x}-6 \pi x e^{2 x}+12 \pi x^{2} e^{2 x}-4 \pi x^{3} e^{2 x}\right) \)

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Ja, das stimmt soweit. Ich habe es gleich in die Formel von dem ableitungsrechner eingegeben

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Hab mein Fehler gefunden, dankee

Answer 2

Hallo

hast du die Funktion skizziert und das Dreieck eingetragen?Dann solltest du sehen: r=f(z) h=2-z

So Aufgaben erfordern IMMER eine Skizze, dabei muss ja f(z) nicht sehr genau sein , dann findet man leicht alles, was man braucht.

Gruß lul