Berechne den Öffnungswinkel des Kegels so, dass das Fassungsvermögen des Trichters maximal wird (Extremwertaufgabe)

Question

Der oben offene Abfülltrichter eines Zementsilos besteht aus einem Zylinder, an den ein Kegel anschließt. Die Höhe h des Zylinders ist 0,5 m, die Kegelerzeugende s = 6 m. Berechne den Öffnungswinkel φ des Kegels so, dass das Fassungsvermögen des Trichters maximal wird.

Comments

Hast

du die Zeichnung gemacht? findest du einen Zusammenhang zwischen Radius des Zylinders und Kegels , der Höhe des Kegels und dem Winkel?

 dann kannst du das Volumen ja aus der Formel für Zylinder  und Kegel ausrechnen und das max finden.

Gruß lul

Answer 1

Ich berechne jetzt nur mal die Kegelhöhe. Der Rest sollte dann ja nicht mehr schwer sein.

Mantellinie (Kegelerzeugende)
r² + h² = 6² → r² = 36 - h²

Volumen
V = pi·r²·0.5 + 1/3·pi·r²·h = pi·(36 - h²)·0.5 + 1/3·pi·(36 - h²)·h = -pi·h³/3 - pi·h²/2 + 12·pi·h + 18·pi
V' = -pi·h² - pi·h + 12·pi = 0 → h = 3

Ich bitte dich eine Skizze anzufertigen. Das Ergebnis anhand der Skizze auf Plausibilität zu prüfen und dann auch den Öffnungswinkel auszurechnen.