Extremwertaufgabe - Kurvendiskussion Beispielaufgabe

Question

Hallo Community,

Aufgabe:

Eine 20m breite Straße soll durch am Straßenrand stehende Lampen beleuchtet
werden. Wie hoch müssen die Lampen angebracht werden, damit die Mitte der
Straße möglichst hell beleuchtet wird, wenn die Beleuchtungsstärke B im Punkt M dem
Kosinus des Winkels φ proportional und dem Quadrat des Abstandes r von der Lichtquelle
umgekehrt proportional ist.

Lambertsches Gesetz: B (r,φ) = Bo ** ( cos ( φ) / r²) .

Bo= 10Iux.

Problem/Ansatz:

Bittte um Lösung komm da irgendwie nicht weiter

Answer 1

B(r, φ) = Bo * COS(φ)/r^2

mit COS(φ) = h/r

B(r, h) = Bo·h/r^3

mit h^2 + 10^2 = r^2 --> h = √(r^2 - 100)

B'(r) = 2·Bo·(150 - r^2) / (r^4·√(r^2 - 100)) = 0

150 - r^2 = 0 --> r = 5·√6

h = √((5·√6)^2 - 100) = 5·√2 = 7.07 m

Answer 2

Du kannst ersetzen:

cos φ mit h/r

und

r mit √(h²+100).

Damit ist die ZF nur noch von h abhängig.