minimale Mantelfläche eines Kegels bei vorgegebenen Volumen

Question

Aufgabe:

Wie müssten die Abmessungen einer oben offenen kegelförmigen Eiswaffel sein,
damit bei vorgegebenem Kegelvolumen die Innenwandoberfläche der Eiswaffel
minimal wird?

Problem/Ansatz:

Ich habe die Formel aufgestellt:

\( m(x)=\pi \sqrt{\frac{3 \mathrm{~V}}{\pi} \frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{x}^{2}} \sqrt{\frac{3 \mathrm{~V}}{\pi} \frac{1}{\mathrm{x}}} \)

Dann erste Ableitung gebildet und gleich null gesetzt. Raus kommt dann:

\( h=\sqrt[3]{\frac{6 \mathrm{~V}}{\pi}} \)

Dann wollte ich die zweite Ableitung bilden, um zu zeigen, dass es sich um ein rel. Minimum handelt. Aber ich komme nicht drauf wo mein Fehler ist. Wäre super, wenn sich wer dazu aufrafft diese Gleichung nachzuvollziehen :)

Die blaue ist der Graph meiner Gleichung und die rote, wie sie eigentlich sein sollte (Bei V=9)

Comments

Einmal schreibst Du x, dann h.

Soll das dasselbe sein und wenn ja, was?

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x=h tut mir leid!

Answer 1

Wie müssten die Abmessungen einer oben offenen kegelförmigen Eiswaffel sein, damit bei vorgegebenem Kegelvolumen die Innenwandoberfläche der Eiswaffel minimal wird?

Bitte nachrechnen, es könnte ein Fehler drin sein:

HB: \(M(r,s)=π*r*s\) soll minimal werden.

NB: \(V= \frac{1}{3}*π*r^2*h \)      \(3*V= π*r^2*h \)       \(h= \frac{3*V}{π*r^2} \)       \(h^2= \frac{9*V^2}{π^2*r^4} \)

\(s=\sqrt{h^2+r^2} \)

\(M(r)=π*r*\sqrt{h^2+r^2}\)        \(M(r)=π*r*\sqrt{\frac{9*V^2}{π^2*r^4}+r^2}\)

\(M(r)=\sqrt{\frac{9*V^2}{r^2}+π^2*r^4}=\sqrt{\frac{9*V^2+π^2*r^6}{r^2}}\)

\( \frac{d M(r)}{d r}=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{9 V^{2}+\pi^{2} \cdot r^{6}}{r^{2}}}} \cdot \frac{6 \cdot \pi^{2} \cdot r^{5} \cdot r^{2}-\left(9 V^{2}+\pi^{2} \cdot r^{6}\right) \cdot 2 r}{r^{4}} \)

\( \frac{d M(r)}{d r}=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{9 V^{2}+\pi^{2} \cdot r^{6}}{r^{2}}}} \cdot \frac{6 \cdot \pi^{2} \cdot r^{5} \cdot r-\left(9 V^{2}+\pi^{2} \cdot r^{6}\right) \cdot 2}{r^{3}} \)

\( \frac{d M(r)}{d r}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9 V^{2}+\pi^{2} \cdot r^{6}}{r^{2}}}} \cdot \frac{3 \cdot \pi^{2} \cdot r^{6}-9 V^{2}-\pi^{2} \cdot r^{6}}{r^{3}} \)

\( \frac{d M(r)}{d r}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9 V^{2}+\pi^{2} \cdot r^{6}}{r^{2}}}} \cdot \frac{2 \cdot \pi^{2} \cdot r^{6}-9 V^{2}}{r^{3}} \)

\( \frac{1}{\sqrt{\frac{9 V^{2}+\pi^{2} \cdot r^{6}}{r^{2}}}} \cdot \frac{2 \cdot \pi^{2} \cdot r^{6}-9 V^{2}}{r^{3}}=0 \)

\( r^{6}=\frac{9 V^{2}}{2 \cdot \pi^{2}} \)

\( { }_{}^{6} \sqrt{\frac{9 V^{2}}{2 \cdot \pi^{2}}} \)