Bestimmung von Konvergenzkreise (gegeben durch Entwicklungspunkt und Konvergenzradius) der folgenden Potenzreihen auf C

Question

ihr Lieben,

wie ihr dem Titel entnehmen könnt geht es bei meinem Problem um Konvergenzkreise auf Potenzreihen, die so beispielweise aussehen:

1. \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(1 + \frac{5}{k}})^k * (z +3)^{k} \)

2. \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{1 + k}{(k-1)!}} * z^k \) und

 3. \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(1-\frac{9}{k})^{k·k}} (-1 + z)^k \)

Das sind jetzt 3 von meinen Hunderten Beispielaufgaben zu diesem Thema, aber ich habe einfach keine Ahnung, was zu tun ist. Kann mir jemand bei diesen weiterhelfen, sodass ich dann den Rest (hoffentlich) alleine hinbekomme xD Wäre sehr dankbar

Mfg

Answer 1

Es gibt da so verschiedene Kriterien für Konvergenz und zur Bestimmung

des Konvergenzradius.

Bei 1. würde ich das Wurzelkriterium anwenden, das ist immer gut,

wenn k-te Wurzel aus a_k konvergiert.

In deinem Fall  k-te Wurzel aus  ( 1 + 5/k)^k

Das ist ja gerade  1+ 5/k  und das geht gegen 1.

Und 1 durch diesen Grenzwert ist dann der Konvergenzradius,

also hier  r = 1/1  = 1.

Der Entwicklungspunkt ist z= - 3

Der Konvergenzkreis ist also der um  -3 mit dem Radius 1

in dessen Inneren konvergiert die Reihe auf jeden Fall.

Bei 2 würde ich es mit dem Quotientenkriterium versuchen

und bei 3. wieder Wurzelkriterium und dabei beachten,

dass (1 + x/k)^k gegen e^x geht.

Comments

Ich bedanke mich herzlichst und glaube es, hinbekommen zu haben.

Dankee :)

Mfg