U={x Element K^{nxn}| f(X^T)=f(X)^T} mit f: K^{nxn} -> K^{nxn}, X -> AX(A^{-1}). (A Element GL_n(K) und X Element K^{nxn})
zu zeigen: U Unterraum von K^{nxn}
Meine Ideen:
1) 0 Element U, da für f(X^T)=0=f(X)^T folgt AX(A^{-1}) = 0 = (AX(A^{-1}))^T mit X als Nullmatrix
2) X,Y Element K^{nxn}, f((X+Y)^T)=A(X+Y)^T(A^{-1})=A(X^T+Y^T)(A^{-1})=(A(X^T+Y^T)(A^{-1}))^T=(A^{-1}^T)(X+Y)(A^T)=f((X+Y))^T
3) b Element K und X Element K^{nxn}, f((bX)^T)=A(bX)^T(A^{-1})=A(b^tX^T)(A^{-1})=A(bX^T)(A^{-1})=(A(bX^T)(A^{-1}))^T=(A^{-1})^T)(bX)(A^T)=f(bX)^T
ist das richtig so? irgendwie erscheint mir das so schwammig.. Ich hab auch schon versucht den ganzen Ausdruck
((A(X+Y)(A^{-1})^T)^T zu nehmen, aber ich komme einfach nicht auf das Richtige. Danke für jede Hilfe :)
