Hallo Lukas,
Im Induktionsanfang zeigst Du für \(n=5>4\), dass die Annahme korrekt ist. \(5^2<2^5\) - das passt.
Im Induktionsschritt macht man nun den Übergang von \(n\) nach \(n+1\) - also in diesem Fall versucht man zu belegen, dass \((n+1)^2<2^{(n+1)}\) ist. Und dafür darf man verwenden, das \(n^2<2^n\) ist. Ich versuche es mal:
$$(n+1)^2=n^2 + 2n +1$$
und da \(n^2<2^n\) - wie oben angegeben - geht es weiter mit
$$n^2 + 2n +1 < 2^n + 2n + 1$$
und da \(2n + 1< n^2 < 2^n\) für \(n>2\) geht es wieder weiter
$$n^2 + 2n +1 < 2^n + 2n + 1 < 2^n + 2^n = 2^{(n+1)}$$
q.e.d.
Gruß Werner
