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Hallo kann mir einer erklären, wie man bei so einem Ausdruck die vollständige Induktion macht ?

n^2 < 2^n    für n>4

danke schonmal

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Hallo Lukas,

Im Induktionsanfang zeigst Du für \(n=5>4\), dass die Annahme korrekt ist. \(5^2<2^5\) - das passt.

Im Induktionsschritt macht man nun den Übergang von \(n\) nach \(n+1\) - also in diesem Fall versucht man zu belegen, dass \((n+1)^2<2^{(n+1)}\) ist. Und dafür darf man verwenden, das \(n^2<2^n\) ist. Ich versuche es mal:

$$(n+1)^2=n^2 + 2n +1$$

und da \(n^2<2^n\) - wie oben angegeben - geht es weiter mit

$$n^2 + 2n +1 < 2^n + 2n + 1$$

und da \(2n + 1< n^2 < 2^n\) für \(n>2\) geht es wieder weiter

$$n^2 + 2n +1 < 2^n + 2n + 1 < 2^n + 2^n = 2^{(n+1)}$$

q.e.d.

Gruß Werner

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