Unterraum beweisen, Körper

Question

Seien K ein Körper, V ein K–Vektorraum
und U1, . . . , Un Unterräume von V . Beweisen Sie,
dass U1 ∩ · · · ∩ Un ein Unterraum von V ist

Wie beweise ich dass das ein Unterraum ist ? Ich komme gerade überhaupt nicht damit klar, darum wäre eine Erklärung super :)

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Um zu beweisen, dass eine Teilmenge eines Vektorraums ein Untervektorraum - also selbst wieder ein Vektorraum - ist,

musst du zeigen, dass sie nichtleer ist und abgeschlossen unter Addition und skalarer Multiplikation.

Hier :

https://www.mathelounge.de/107732/durchschnitt-unterraume-vektorraumes-wiederum-unterraum

wird das für den Durchschnitt von zwei Untervektorräumen gezeigt. Für endlichen Durchschnitt funktioniert der Beweis analog.

Answer 2

Beweise dass \(U_1\cap\dots\cap U_n\)  die in deiner Definition von Unterraum genannten Eigenschaften hat.

Eine häufig verwendete Defnition ist, dass ein Unterraum

1. abgeschlossen bezüglich der Addition ist
   
2. abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus dem Körper ist,
3. ein neutrales Element bezüglich der Addition enthält.
   

Zu 1. Seien \(v,w \in U_1\cap\dots\cap U_n\). Begründe, warum dann auch

        \(v+w\in U_1\cap\dots\cap U_n\)

ist. Dabei darfst du verwenden, dass \(U_1, \dots, U_n\) Unterräume sind.