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Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) n=0n4nzn \sum \limits_{n=0}^{\infty} n 4^{n} z^{n}

b) n=02nz2n \sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} z^{2 n}

c) n=0n5zn \sum \limits_{n=0}^{\infty} n^{5} z^{n}

d) n=0(an+bn)zn \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(a^{n}+b^{n}\right) z^{n} für 0<a<b 0<a<b fest.

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Danke den Link kannte ich noch gar nicht.

a)

lim       : | an / an+1 |    = lim : n · 4n / (n+1) · 4n+1 = 1/4
n--> ∞                             n--> ∞


c) n5 / (n+1)5 = 1

 

1 Antwort

0 Daumen

Ein Bespiel für Aufgabe b)

Wie lautet der Konvergenzradius der Reihe n=03nx2n? \sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n} ? Wir missen hier aufpassen, dass dort nicht xk, x^{k}, sondern x2k x^{2 k} steht, und uns fragen, was wir nun zu tun haben. Damit es nicht zu einfach wird ( :-P), betrachten wir das Ganze allgemeiner und fragen nach einer Formel für den Konvergenzradius der Reihe
n=0anx2n \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 n}
Wir setzen zunächst n=0anx2n= : n=0bnxn, \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 n}=: \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \cdot x_{n}, wobei jetzt
bn : ={ak, fu¨n=2k0, fu¨n=2k+1 b_{n}:=\left\{\begin{array}{ll} {a_{k},} & {\text { für } n=2 k} \\ {0,} & {\text { für } n=2 k+1} \end{array}\right.
und xn : =x2n. x_{n}:=x^{2 n} . Den Konvergenzradius können wir nun zu r=1lim supxbn1n r=\frac{1}{\limsup \limits_{x \rightarrow \infty} b_{n} \frac{1}{n}}
für n n \rightarrow \infty berechnen. Es folgt:
r=1limsupnbnn=1limsupkak2k r=\frac{1}{\lim \sup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|b_{n}\right|}}=\frac{1}{\lim \sup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[2 k]{\left|a_{k}\right|}}
Und jetzt sollte es ein Leichtes für euch sein, den Konvergenzradius von n=03nx2n \sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n} zu berechnen, oder?
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