Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
a) ∑n=0∞n4nzn \sum \limits_{n=0}^{\infty} n 4^{n} z^{n} n=0∑∞n4nzn
b) ∑n=0∞2nz2n \sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} z^{2 n} n=0∑∞2nz2n
c) ∑n=0∞n5zn \sum \limits_{n=0}^{\infty} n^{5} z^{n} n=0∑∞n5zn
d) ∑n=0∞(an+bn)zn \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(a^{n}+b^{n}\right) z^{n} n=0∑∞(an+bn)zn für 0<a<b 0<a<b 0<a<b fest.
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius
a) lim : | an / an+1 | = lim : n · 4n / (n+1) · 4n+1 = 1/4 n--> ∞ n--> ∞ c) n5 / (n+1)5 = 1
Ein Bespiel für Aufgabe b)
Wie lautet der Konvergenzradius der Reihe ∑n=0∞3nx2n? \sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n} ? n=0∑∞3nx2n? Wir missen hier aufpassen, dass dort nicht xk, x^{k}, xk, sondern x2k x^{2 k} x2k steht, und uns fragen, was wir nun zu tun haben. Damit es nicht zu einfach wird ( :-P), betrachten wir das Ganze allgemeiner und fragen nach einer Formel für den Konvergenzradius der Reihe∑n=0∞an⋅x2n \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 n} n=0∑∞an⋅x2nWir setzen zunächst ∑n=0∞an⋅x2n= : ∑n=0∞bn⋅xn, \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 n}=: \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \cdot x_{n}, n=0∑∞an⋅x2n= : n=0∑∞bn⋅xn, wobei jetztbn : ={ak, fu¨r n=2k0, fu¨r n=2k+1 b_{n}:=\left\{\begin{array}{ll} {a_{k},} & {\text { für } n=2 k} \\ {0,} & {\text { für } n=2 k+1} \end{array}\right. bn : ={ak,0, fu¨r n=2k fu¨r n=2k+1und xn : =x2n. x_{n}:=x^{2 n} . xn : =x2n. Den Konvergenzradius können wir nun zu r=1lim supx→∞bn1n r=\frac{1}{\limsup \limits_{x \rightarrow \infty} b_{n} \frac{1}{n}} r=x→∞limsupbnn11für n→∞ n \rightarrow \infty n→∞ berechnen. Es folgt:r=1limsupn→∞∣bn∣n=1limsupk→∞∣ak∣2k r=\frac{1}{\lim \sup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|b_{n}\right|}}=\frac{1}{\lim \sup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[2 k]{\left|a_{k}\right|}} r=limsupn→∞n∣bn∣1=limsupk→∞2k∣ak∣1Und jetzt sollte es ein Leichtes für euch sein, den Konvergenzradius von ∑n=0∞3nx2n \sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n} n=0∑∞3nx2n zu berechnen, oder?
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