Suche die Konvergenzradien der Potenzreihen: Summe aus n 4^n z^n; 2^n z^2n; n^5 z^n…

Question

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n 4^{n} z^{n} \)

b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^{n} z^{2 n} \)

c) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n^{5} z^{n} \)

d) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(a^{n}+b^{n}\right) z^{n} \) für \( 0<a<b \) fest.

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

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Danke den Link kannte ich noch gar nicht.

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a)

lim       : | a_ⁿ / a_n+1 |    = lim : n · 4^n / (n+1) · 4ⁿ⁺¹ = 1/4
n--> ∞                             n--> ∞


c) n⁵ / (n+1)⁵ = 1

 

Answer 1

Ein Bespiel für Aufgabe b)

Wie lautet der Konvergenzradius der Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n} ? \) Wir missen hier aufpassen, dass dort nicht \( x^{k}, \) sondern \( x^{2 k} \) steht, und uns fragen, was wir nun zu tun haben. Damit es nicht zu einfach wird ( :-P), betrachten wir das Ganze allgemeiner und fragen nach einer Formel für den Konvergenzradius der Reihe
$$ \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 n} $$
Wir setzen zunächst \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \cdot x^{2 n}=: \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \cdot x_{n}, \) wobei jetzt
$$ b_{n}:=\left\{\begin{array}{ll} {a_{k},} & {\text { für } n=2 k} \\ {0,} & {\text { für } n=2 k+1} \end{array}\right. $$
und \( x_{n}:=x^{2 n} . \) Den Konvergenzradius können wir nun zu \( r=\frac{1}{\limsup \limits_{x \rightarrow \infty} b_{n} \frac{1}{n}} \)
für \( n \rightarrow \infty \) berechnen. Es folgt:
$$ r=\frac{1}{\lim \sup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|b_{n}\right|}}=\frac{1}{\lim \sup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[2 k]{\left|a_{k}\right|}} $$
Und jetzt sollte es ein Leichtes für euch sein, den Konvergenzradius von \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 3^{n} x^{2 n} \) zu berechnen, oder?