Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren, das Cauchy-Produkt jedoch nicht

Question

Aufgabe:

Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei
$$ a_{n}=b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}} $$
Zeigen Sie, dass die Reihen \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) und \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \) \( b_{n} \) konvergieren, das Cauchy-Produkt jedoch nicht.

Comments

Die beiden Reihen sind alternierende Nullfolgen und konvergieren deshalb. qed 1.Teil.

Zum 2. Teil: Weisst du, was dieses Cauchy-Produkt ist?

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Was das Cauchy-Produkt ist findet man unter:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

Günstiger Weise ist dort auch gleich eine Erklärung, warum in diesem Fall das Produkt nicht konvergiert.

Answer 1

Die beiden Reihen sind alternierende Nullfolgen und konvergieren deshalb. qed 1.Teil.

Zum 2. Teil: Weisst du, was dieses Cauchy-Produkt ist?

Vgl. Link zur Lösung im Kommentar von Mathecoach.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

Inkl. "Erklärung, warum in diesem Fall das Produkt nicht konvergiert."

Answer 2

es ist
$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$$,
die Reihen konvergieren gemäß dem Lebnitzkriterium.

Um das Cauchyprodukt auszurechnen, brauchst du nur in die Formel einzusetzen.

Das Beispiel findest du bereits hier vorgerechnet:

http://www.mathepedia.de/Cauchy-Produkt.html