Aloha :)
Das Cauchy-Produkt beider Reihen liefert:$$\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i\sum\limits_{k=0}^{\infty}b_k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{i+k=n}a_ib_k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^na_{n-k}b_k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^nx^{n-k}x^k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^nx^{n}$$$$\phantom{\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i\sum\limits_{k=0}^{\infty}b_k}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\sum\limits_{k=0}^n1=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n(n+1)$$
Für \(|x|<1\) ist jede einzelne Reihe eine konvergente geometrische Reihe:$$\sum\limits_{i=0}^\infty a_i=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}\quad;\quad\sum\limits_{k=0}^\infty b_k=\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}$$
Daher gilt für \(|x|<1\):$$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1) x^n=\left(\frac{1}{1-x}\right)^2$$
Die noch fehlende geschlossene Darstellung erhalten wir aus einer Indexverschiebung:$$\small\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n=\sum\limits_{n=1-\pink1}^\infty (n\pink{+1})x^{n\pink{+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)x^{n+1}=x\cdot\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)x^n=x\cdot\left(\frac{1}{1-x}\right)^2=\frac{x}{(1-x)^2}$$
