Berechne ohne Formelsammlung

Question

Aufgabe:

Berechne ohne Formelsammlung

Text erkannt:

(i) \( \int \limits_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}+\pi^{2} d x \)
(ii) \( \int \limits_{0}^{1} x^{3 / 2}+\frac{2 x}{1+x^{2}} d x \).

Answer 1

Aloha :)

Diese beiden Integrale fallen in eine wichtige Klasse von Standard-Integralen. Wenn nämlich der Zähler die Ableitung des Nenners ist, gilt:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln\left|f(x)\right|+\text{const}$$

Mit diesem Wissen im Hinterkopf schreibst du die Integrale sofort hin:$$I_1=\int\limits_0^{\frac\pi4}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}+\pi^2\right)dx=\int\limits_0^{\frac\pi4}\left(-\frac{(\sin x+\cos x)'}{\sin x+\cos x}+\pi^2\right)dx$$$$\phantom{I_1}=\left[-\ln|\sin x+\cos x|+\pi^2x\right]_0^{\frac\pi4}=\left(-\ln\left|\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\right|+\frac{\pi^3}{4}\right)-\left(-\ln|0+1|+0\right)$$$$\phantom{I_1}=-\ln(\sqrt2)+\frac{\pi^3}{4}=\frac{\pi^3}{4}-\frac{\ln(2)}{2}=\frac{\pi^3-\ln(4)}{4}$$

$$I_2=\int\limits_0^1\left(x^{\frac32}+\frac{2x}{1+x^2}\right)dx=\left[\frac25x^{\frac52}+\ln\left|1+x^2\right|\right]_0^1=\frac25+\ln(2)$$

Answer 2

(i) Im Zähler steht das (-1) fache der Ableitung des Nenners. Eine Stammfunktion des Bruchs ist also

-ln(sin x + cos x).

Beim Bruch in (ii) steht auch im Zähler die Ableitung des Nenners.

Answer 3

1. Im Zähler steht fast die Ableitung des Nenners:

sinx+cosx -> cosx - sinx = -(sinx-cosx)

Es gilt:

lnf(x) wird abgeleitet zu f '(x)/f(x)

Wende das an!

pi^2 ist eine Konstante, die leicht zu integrieren ist.

2. x^(3/2) wird zu x^(5/2)/(5/2) = 2/5*x^(5/2)

Für 2x/(x^2+1) gilt das in 1. Gesagte. 2x ist die Ableitung des Nenner.

Damit sollte dir geholfen sein.