stetige Verteilung Aufgabe

Question

Aufgabe:

Bei einem Duell schießen die Schutzen A und B solange jeweils abwechselnd auf- ¨
einander, bis der erste getroffen hat. Beide treffen bei jedem Schuss unabhängig
voneinander und von den vorangegangenen Schussen mit der Wahrscheinlichkeit ¨
p = 0.5. Schutze A beginnt.

Problem/Ansatz:

Welche Überlebenschancen haben A und B?

Comments

Die Überlebenschance q von A ist gleich der bedingten Überlebenschance vom B unter der Bedingung, dass A beim ersten Schuss nicht trifft.

Ich sehe aber gerade, dass das zu der Gleichung

        q = 0,5q / 0,5

führt, also nicht wirklich hilfreich ist.

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Ich gehe davon aus, dass man beim ersten Treffer Tod ist?

Dann würde das bedeuten: Wenn Person A gewinnen soll, dann trifft diese Person im n-ten Versuch, während Person B nicht in n-1 Versuchen trifft. Das wiederum würde auf eine geometrische Verteilung hinauslaufen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A beim n-ten Mal trifft, ist dann 0,5^n. Während die Wahrscheinlichkeit, dass B kein mal trifft in n-1 Versuchen trifft, ist 0,5^(n-1).

Das würde Bedeuten, die Wahrscheinlichkeit wäre 0,5^n*0,5^(n-1) =0,5^(2n-1).

Eine andere Idee habe ich nucht.

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Ich habe hier mehrere Lösungsmöglichkeiten vorgestellt.

@o ; Der ichtige Ansatz führt vielmehr zu der Gleichung p + 0,5p = 1

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Das war meine zweite Überlegung, dann ist hier die Wahrscheinlichkeit 2/3 für A.

Denn \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{0,5^{2n-1}} \)= 2*1/(1-0,25) - 2 =2/3

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Vielen Dank an euch!! :)

Wie würde ich dann die Überlebenschancen von B berrechnen?

Answer 1

Das kann man als Markov-Prozess darstellen.

1 - A schießt, 2 - B schießt, 3 - A tot, 4 - B tot:

Zugehörige Übergangsmatrix:

$$\left( \begin{array}{cccc} 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Startvektor: \((1,0,0,0)\) - also A beginnt

Stationäre Verteilung: \( (0,0,1/3,2/3) \)

\(\Rightarrow \)

Überlebenswahrscheinlichkeit für A: 1-1/3 = 2/3

Überlebenswahrscheinlichkeit für B: 1-2/3 = 1/3