Eigenvektor bestimmen - LGS mit 2 leeren Zeilen

Question

Aufgabe:

Wie muss man vorgehen, wenn man einen doppelten Eigenwert besitzt und die beiden Eigenvektoren berechnen möchte und dabei ein 3x3 LGS hat, welches zwei leere Zeilen besitzt ?

1	1	1	0
0	0	0	0
0	0	0	0

Danke

Comments

3x3 LGS mit 4 Spalten wie geht das?

Answer 1

Du hast also letztlich nur die Gleichung

\(  x_1 + x_2 + x_3 = 0 \)

mit \(  x_3 = s \)  und \(  x_2 = t \) hast du

\( \vec{x} = \begin{pmatrix} -s-t\\t\\s \end{pmatrix}  = s \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}+  t \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}\)

Also (\( \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} ,  \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \))

eine Basis des Eigenraumes.

Answer 2

Aloha :)

Du hast ja eine gültige Gleichung erhalten:$$x_1+x_2+x_3=0$$Stelle diese Gleichung nach einer Koordinate um, und du kannst den Lösungsraum angeben. Zum Beispiel wird mit$$x_3=-x_1-x_2$$der Lösungsraum zu$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-x_1-x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$$Die beiden erhaltenen Vektoren spannen den Lösungsraum auf und sind zwei mögliche Eigenvektoren. Je nach dem, nach welcher Variablen du umstellst, können sich andere Eigenvektoren ergeben.