Summenfunktion der Möbius Funktion für n größer oder gleich 2 immer gleich 0:

Question

Aufgabe:

Beweis der Aussage, dass die Summenfunktion der Möbius Funktion für \( n \geq 2 \) immer gleich 0 ist. Die Multiplikativität der Möbius Funktion dürfen Sie dabei voraussetzen.

Problem/Ansatz:

Wie kann diese Aussage nachgewiesen werden (habe dazu nichts im Internet gefunden und habe auch keinen Ansatz).

Ich kenn sonst nur diese Aussage:

\( \sum \limits_{\mathrm{n} \mid \mathrm{t}} \mu(\mathrm{n})=0 \) für alle \( \mathrm{n}>1 \)

Comments

Niemand eine Idee ☺?

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Habe es jetzt doch geschafft, die Aufgabe zu lösen, und zwar wie folgt:

\( \mathrm{n}=1 \) :

\( \begin{array}{l} S_{\mu}(1)=\sum \limits_{t \mid 1} \mu(t) \text { (1 wird nur von } 1 \text { geteilt) } \\ S_{\mu}(1)=\mu(1)=1 \end{array} \)
\( \mathrm{n}>1: \mu \) multiplikativ \( \Longrightarrow S_{\mu} \) multiplikativ, also
\( S_{\mu}(n)=S_{\mu}\left(p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{r}^{\alpha_{r}}\right)=S_{\mu}\left(p_{1}^{\alpha_{1}}\right) \cdots S_{\mu}\left(p_{r}^{\alpha_{r}}\right)=\prod \limits_{i=1}^{r} S_{\mu}\left(p_{i}^{\alpha_{i}}\right) . \)
Daher auf Primzahlpotenzen beschränken. Für \( p \in \mathbb{P} \) und \( \alpha \in \mathbb{N} \) gilt aber
\( S_{\mu}\left(p^{\alpha}\right)=\sum \limits_{t \mid p^{\alpha}} \mu(t)=\mu(1)+\mu(p)+\mu\left(p^{2}\right)+\cdots+\mu\left(p^{\alpha}\right)=1-1+0+\cdots+0=0 \)