Primzahl größer 5 liegt vor oder nach einem Vielfachen von 6 BEWEIS GESUCHT

Question

Zu jeder Primzahl p ≥ 5 gibt es eine Zahl k ∈ N mit p = 6k − 1 oder p = 6k + 1 .

Wäre super, wenn jemand mir dies vollständig beweisen könnte...
DANKE!

Answer 1

Es gibt sechs mögliche Fälle: \(p\equiv k\mod 6\) mit \(k\in\{0,\dots,5\}\). Da kannst du jetzt bis auf zwei Fälle alle ausschließen (mit dem Wissen, dass \(p\geq 5\) eine Primzahl ist).

Answer 2

Wäre p=0(mod 6), p=2(mod 6) oder p=4(mod 6), so wäre p gerade im Widerspruch dazu, dass p eine Primzahl größer gleich 5 ist.

Wäre p=3(mod 6), so wäre p durch 3 teilbar, was ebenfalls ein Widerspruch ist, da p eine Primzahl größer gleich 5, also insbesondere größer als 3 ist.

Demnach gilt p=1(mod 6) oder p=5(mod 6). Im ersten Fall lässt sich p daher darstellen als p=6k+1 (k∈N), im zweiten Fall als p=6k+5=6(k+1)-5 (wieder gilt k∈N). qed

Answer 3

6k + 0 lässt sich durch 6 teilen und damit durch 2 und durch 3

6k + 1 kann man weder durch 2 noch durch 3 teilen und steht für eine Primzahl zur Verfügung

6k + 2 lässt sich durch 2 teilen

6k + 3 lässt sich durch 3 teilen

6k + 4 lässt sich durch 2 teilen

6k + 5 = 6*(k+1) - 1 kann man weder durch 2 noch durch 3 teilen und steht für eine Primzahl zur Verfügung

6k + 6 = 6*(k+1) + 0 lässt sich wieder durch 6 teilen und damit durch 2 und durch 3

Comments

das ist logisch, danke!