Vielfache jeder natürlichen Zahl k>1.

Question

Aufgabe:

Beweise: Jede beliebige natürliche Zahl k hat ein Vielfaches n der Form n= 10^r - 10^s.

Problem/Ansatz:

Komme nicht weiter, mir ist es nur gelungen für alle ungeraden Zahlen zu beweisen.

Answer 1

Sei \(k=2^a5^bc\) mit \(ggT(c,10)=1\).

Wir setzen \(s=\max(a,b)\). Dann gilt:

\(10^s(1-10^t)\equiv 0\) mod \(k\)

\(\iff 10^s(1-10^t)=2^a5^bcd\) mit einem ganzen \(d\)

\(\iff 2^{s-a}5^{s-b}(1-10^t)=cd\).

Wegen \(ggT(2^{s-a}5^{s-b},c)=1\) bekommen wir:

\(2^{s-a}5^{s-b}(1-10^t)\equiv 0\) mod \(c\) ist äquivalent zu

\(1-10^t\equiv 0\) mod \(c\). Man setze nun \(t=\phi(c)\) mit Eulers \(\phi\),

Dann gilt (kleiner Fermat): \(10^{\phi(c)}\equiv 1\) mod \(c\).

Also gilt \(2^a5^b\; | \; 10^s\) und \(c\; | \; (1-10^t)\) und wegen

\(ggT(2^a5^b,c)=1\) folgt \(k=2^a5^bc\; | \;10^s(10^t-1)=10^{s+t}-10^s\).