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Aufgabe:

Die in den Abbildungen aneinander gereihten gleichseitigen Dreiecke haben jeweils den Flächeninhalt A = 6 FE. Bestimme für jede der drei Abbildungen die Summe der Inhalte der abgeschnittenen rot markierten Teilflächen.

Schließlich sollen nicht nur 2, 3 und 4, sondern n gleichseitige Dreiecke aneinandergereiht und auf dieselbe Art die Spitzen abgeschnitten werden.

Verallgemeinere deine bisherigen Betrachtungen und gib ein Term für die Berechnung der Summe der Flächeninhalte der abgeschnittenen Teilflächen an.

Begründe mit deinem Ergebnis, warum der angegebene Dreiecksflächeninhalt günstig gewählt war.

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Hallo,

die Flächeninhalte der roten Flächen betragen 3FE, 5FE und 7FE.

Im oberen Bild wird das gleichsritige Dreieck halbiert und 6FE/2=3FE.

Im mittleren und unteren Bild sind die roten Dreiecke jeweils ähnlich.

Im mittleren Bild sind die Seitenlängen des großen roten Dreiecks doppelt so lang wie die des kleinen Dreiecks. damit ist die Fläche des großen Dreiecks 4 Mal so groß wie die des kleinen Dreiecks. Nun kann man herausfinden, dass das große rote Dreieck 4FE Flächeninhalt hat. Damit hat das kleinere 1FE und beide zusammen 5FE.

Nun zum unteren Bild:

Screenshot_20210831-132943_Geometry.jpg

Betrachte die Strecke x= HJ.

Mit dem Strahlensatz bzw. mit ähnlichen Dreiecken erkennst du, dass GK=2x und FL=3x beträgt. Da die abgeschnitten Dreiecke ähnlich sind, stehen ihre Flächeninhalte im Verhältnis 1²:2²:3², also 1:4:9.

Die Seitenlänge eines der gleichseitigen Dreiecke beträgt FL+LE=3x+x=4x. Der Flächeninhalt des Dreiecks ALF ist daher 3/4*6FE=4,5FE. Das entspricht der 9 in der Verhältnisgleichung A1:A2:A3=1:4:9.

A3=4,5 → A1=0,5 und A2=2

Zusammen 4,5+2+0,5=7.


:-)

Avatar von 47 k

Kannst du auch ein term schreiben bitte ich verstehe so wenig

Hallo,

der Term muss die Zahlen 3;5;7;9;11;... beschreiben, also die ungeraden Zahlen ab 3. Das geht mit 2n+1.

Antwort ergänzt.

Ich verstehe es immer noch nicht. Können Sie bitte mir die ganze Aufgabe lösen ich bräuchte es wirklich aber ich kann nirgendwie lösen. Danke

Ich habe die Lösung doch ausführlich aufgeschrieben. Was verstehst du denn nicht?

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