Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. Integral

Question

Aufgabe:

Das Rechteck ABCD mit \( A(1 \mid 0), \,B(4 \mid 0), \,C(4 \mid 2) \) und \( D(1 \mid 2) \) wird durch den Graphen der in \( \mathbb{R}^{+} \)definierten Funktion \( f \) mit \( f(x)=2-\Large\frac{8}{x^{7}} \) in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teifilachen.

Problem/Ansatz:

Answer 1

1. Skizziere die beschriebene Situation.

2. Rechne die beiden Flächeninhalte aus.

3. Dividiere die Ergebnisse.

Wo hast Du dabei welche Probleme?

Comments

Hier habe ich es mal skizziert

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Das sieht gut aus. Jetzt brauchst du "nur noch" das Integral von der Nullstelle bis 4 berechnen.

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Um den größeren Flächeninhalt ausrechnen zu können, benötigst Du die Nullstelle von f bei

\(\displaystyle x_{0}= \sqrt[7]{4}\)

Der kleinere Flächeninhalt ist 6 minus den größeren.

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wie berechnet man die NST von \( f(x)=2-\Large\frac{8}{x^{7}} \)

Also ich weiß nicht wie man das macht

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\(\begin{aligned} 2-\frac{8}{x^{7}} &=0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad&&plus \; 8/x^{7} \\\\ 2 &= \frac{8}{x^{7}} &&mal \; x^{7}\quad   durch\; 2\\\\ x^{7} &= \frac{8}{2}  = 4 &&siebte \; Wurzel\\\\ x&= \sqrt[7]{4} \end{aligned}\)

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Kann Jemand den Integral aufstellen, damit ich es rechnen kann?

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Muss man die stammfunktion aufstellen?

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Der Mathecoach hat in seiner Antwort das Integral aufgestellt (dritte Zeile seiner Antwort) und auch die Stammfunktion (zweite Zeile).

Answer 2

f(x) = 2 - 8/x^7 = 0 --> x = 2^(2/7)

F(x) = 2·x + 4/(3·x^6)

A = ∫ (2^(2/7) bis 4) (2 - 8/x^7) dx = F(4) - F(2^(2/7)) = 24577/3072 - 7·2^(2/7)/3

Das Verhältnis der Teilflächen ergibt sich daher aus

q = (6145 - 7168·2^(2/7))/(7·(1024·2^(2/7) - 3511)) = 0.1637017390 : 1

Skizze: