Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. Integral

Question

Aufgabe:

Das Rechteck ABCD mit $A(1 \mid 0), \,B(4 \mid 0), \,C(4 \mid 2)$ und $D(1 \mid 2)$ wird durch den Graphen der in $\mathbb{R}^{+}$definierten Funktion $f$ mit $f(x)=2-\Large\frac{8}{x^{7}}$ in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teifilachen.

Problem/Ansatz:

Answer 1

1. Skizziere die beschriebene Situation.

2. Rechne die beiden Flächeninhalte aus.

3. Dividiere die Ergebnisse.

Wo hast Du dabei welche Probleme?

Comments

Hier habe ich es mal skizziert

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Das sieht gut aus. Jetzt brauchst du "nur noch" das Integral von der Nullstelle bis 4 berechnen.

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Um den größeren Flächeninhalt ausrechnen zu können, benötigst Du die Nullstelle von f bei

$\displaystyle x_{0}= \sqrt[7]{4}$

Der kleinere Flächeninhalt ist 6 minus den größeren.

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wie berechnet man die NST von $f(x)=2-\Large\frac{8}{x^{7}}$

Also ich weiß nicht wie man das macht

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$\begin{aligned} 2-\frac{8}{x^{7}} &=0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad&&plus \; 8/x^{7} \\\\ 2 &= \frac{8}{x^{7}} &&mal \; x^{7}\quad durch\; 2\\\\ x^{7} &= \frac{8}{2} = 4 &&siebte \; Wurzel\\\\ x&= \sqrt[7]{4} \end{aligned}$

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Kann Jemand den Integral aufstellen, damit ich es rechnen kann?

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Muss man die stammfunktion aufstellen?

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Der Mathecoach hat in seiner Antwort das Integral aufgestellt (dritte Zeile seiner Antwort) und auch die Stammfunktion (zweite Zeile).

Answer 2

f(x) = 2 - 8/x⁷ = 0 --> x = 2^(2/7)

F(x) = 2·x + 4/(3·x⁶)

A = ∫ (2^(2/7) bis 4) (2 - 8/x⁷) dx = F(4) - F(2^(2/7)) = 24577/3072 - 7·2^(2/7)/3

Das Verhältnis der Teilflächen ergibt sich daher aus

q = (6145 - 7168·2^(2/7))/(7·(1024·2^(2/7) - 3511)) = 0.1637017390 : 1

Skizze: