Aufgabe:
Das Rechteck ABCD mit A(1∣0), B(4∣0), C(4∣2) A(1 \mid 0), \,B(4 \mid 0), \,C(4 \mid 2) A(1∣0),B(4∣0),C(4∣2) und D(1∣2) D(1 \mid 2) D(1∣2) wird durch den Graphen der in R+ \mathbb{R}^{+} R+definierten Funktion f f f mit f(x)=2−8x7 f(x)=2-\Large\frac{8}{x^{7}} f(x)=2−x78 in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teifilachen.
Problem/Ansatz:
1. Skizziere die beschriebene Situation.
2. Rechne die beiden Flächeninhalte aus.
3. Dividiere die Ergebnisse.
Wo hast Du dabei welche Probleme?
Hier habe ich es mal skizziert
Das sieht gut aus. Jetzt brauchst du "nur noch" das Integral von der Nullstelle bis 4 berechnen.
Um den größeren Flächeninhalt ausrechnen zu können, benötigst Du die Nullstelle von f bei
x0=47\displaystyle x_{0}= \sqrt[7]{4}x0=74
Der kleinere Flächeninhalt ist 6 minus den größeren.
wie berechnet man die NST von f(x)=2−8x7 f(x)=2-\Large\frac{8}{x^{7}} f(x)=2−x78
Also ich weiß nicht wie man das macht
2−8x7=0plus 8/x72=8x7mal x7durch 2x7=82=4siebte Wurzelx=47\begin{aligned} 2-\frac{8}{x^{7}} &=0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad&&plus \; 8/x^{7} \\\\ 2 &= \frac{8}{x^{7}} &&mal \; x^{7}\quad durch\; 2\\\\ x^{7} &= \frac{8}{2} = 4 &&siebte \; Wurzel\\\\ x&= \sqrt[7]{4} \end{aligned}2−x782x7x=0=x78=28=4=74plus8/x7malx7durch2siebteWurzel
Kann Jemand den Integral aufstellen, damit ich es rechnen kann?
Muss man die stammfunktion aufstellen?
Der Mathecoach hat in seiner Antwort das Integral aufgestellt (dritte Zeile seiner Antwort) und auch die Stammfunktion (zweite Zeile).
f(x) = 2 - 8/x7 = 0 --> x = 2^(2/7)
F(x) = 2·x + 4/(3·x6)
A = ∫ (2^(2/7) bis 4) (2 - 8/x7) dx = F(4) - F(2^(2/7)) = 24577/3072 - 7·2^(2/7)/3
Das Verhältnis der Teilflächen ergibt sich daher aus
q = (6145 - 7168·2^(2/7))/(7·(1024·2^(2/7) - 3511)) = 0.1637017390 : 1
Skizze:
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