Aloha :)
Mach Gauß erstmal zu Ende. Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten:$$\begin{pmatrix}-1 & -2 & 2\\0 & 3 & -2\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-1 & 1 & 0\\0 & 3 & -2\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\0 & 3 & -2\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\pink1 & -1 & 0\\0 & -\frac32 & \pink1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
Nun stellst du die erhaltenen Gleichungen nach den pinken \(\pink{1}\) um:$$\pink x-y=0\implies\pink x=y$$$$-\frac32y+\pink z=0\implies\pink z=\frac32y$$
Damit schreibst du alle Vektoren des Lösungsraums auf und wählst die Basisvektoren dieses Lösungsraums als Eigenvektoren:$$\begin{pmatrix}\pink x\\y\\\pink z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\y\\\frac32y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}1\\1\\\frac32\end{pmatrix}=\frac y2\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$$Da Eigenvektoren nur bis auf einen Faktor bestimmt sind, würde ich \((2;2;3)^T\) angeben.
