Kugeln in einer Urne Wahrscheinlichkeit berechnen

Question

Aufgabe:

In der Urne \( \mathcal{U}_{n}, n \geq 1 \), liegen 2 rote sowie \( n \) schwarze Kugeln. Wir ziehen aus jeder Urne der Folge \( \left(\mathcal{U}_{n}\right)_{n \geq 1} \) jeweils zufällig zwei Kugeln (ohne Zurücklegen).
Bezeichne \( A_{2} \) das Ereignis, dabei unendlich viele rote Kugelpaare zu ziehen, d.h. aus unendlich vielen Urnen je zwei rote Kugeln zu ziehen. Entsprechend bezeichne \( A_{1} \) das Ereignis, unendlich oft mindestens eine rote Kugel zu ziehen.

Berechnen Sie \( \mathbb{P}\left(A_{j}\right) \) für \( j=1,2 \).

Comments

Ich frage mich, ob nicht beide Wahrscheinlichkeiten notwendigerweise 0 sein müssten. Oder ich habe da etwas nicht richtig verstanden.

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit, aus Urne \(n\) ein rotes Kugelpaar zu ziehen, ist

        \(\displaystyle p_{n}\coloneqq\frac{2}{n+2}\cdot\frac{1}{n+1}\).

Die Wahrscheinlichkeit, aus allen folgenden Urnen kein rotes Kugelpaar zu ziehen, ist

        \(\displaystyle\prod_{i=n+1}^{\infty} \left(1-p_{i}\right)\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Urne \(n\) die letzte ist, aus der ein rotes Kugelpaar gezogen wurde, ist somit

        \(\displaystyle p_{n}\cdot \prod_{i=n+1}^{\infty}\left(1-p_{i}\right)\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass nur endlich viele rote Kugelpaare gezogen wurden, ist deshalb

        \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}p_{n}\cdot \prod_{i=n+1}^{\infty}\left(1-p_{i}\right)\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass unendlich viele rote Kugelpaare gezogen wurden, ist deshalb

        \(\displaystyle1-\sum_{n=0}^{\infty}p_{n}\cdot \prod_{i=n+1}^{\infty}\left(1-p_{i}\right)\).