Wir definieren für \alpha \in \mathbb{R} die allgemeinen

Question

Aufgabe
Wir definieren für \( \alpha \in \mathbb{R} \) die allgemeine Potenzfunktion \( p_{\alpha}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) durch
\( p_{\alpha}(x):=x^{\alpha}=\exp (\alpha \log (x)) \text { für } x>0 . \)
Weisen Sie die folgenden Eigenschaften von \( p_{\alpha} \) nach.
(i) \( p_{\alpha} \) ist streng monoton wachsend für \( \alpha>0 \) und streng monoton fallend für \( \alpha<0 \).
(ii) \( p_{\alpha} \) ist stetig.

(iii) Es gilt \( \lim \limits_{x>0} p_{\alpha}(x)=0 \) für \( \alpha>0 \) und \( \lim \limits_{x \searrow 0} p_{\alpha}(x)=\infty \) für \( \alpha<0 \).

Answer 1

Die Eigenschaften von exp und log sind doch wohl benutzbar.

Dann ist ja (ii) klar: Verkettung stetiger Funktionen und

p_α ist wegen der Verkettung auch differenzierbar mit

p'_α(x)=\( \frac{\alpha}{x}\cdot p_\alpha \)

Das ist in Abhängigkeit von α für alle x>0 immer positiv/negativ

also die Monotonie klar.

Es gilt
\( \lim \limits_{x \searrow 0} p_{\alpha}(x)=\lim \limits_{x \searrow 0} \exp (\alpha \log (x)) \)

Nun ist aber \( \lim \limits_{x \searrow 0} \log(x) = - \infty \)

also für α>0 ist \( \lim \limits_{x \searrow 0} \alpha\log(x) = - \infty \)

und für α<0 ist \( \lim \limits_{x \searrow 0} \alpha\log(x) =  \infty \)

Und wegen    \( \lim \limits_{x \to \infty } e^x =  \infty \) und \( \lim \limits_{x \to -\infty } e^x =  0 \)  

ist wohl auch (iii) klar.